Предел функции в точке. Геометрический смысл

Понятие функции. Способы задания функции. Основные элементарные функции. Классификация элементраных функций

Монотонные последовательности

Монотонность последовательности

Основные свойства сходящихся последовательностей

Предел числовой последовательности

Пределы последовательности.

Определение: числа а, называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n³N выполняется модуль разности |a_n-a|<ε Û " ε>0 $ N: " n³N Þ|a_n-a|<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть $lim a_n=a<¥ Þ a_n - ограниченная

^n®+¥

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если $lim a_n=a <¥, то а- единственное.

^n®+¥

1) возрастающая a_n<a_n+1, " nÎN

2) убывающая a_n>a_n+1, " nÎN

3) не возрастающая a_n³a_n+1, " nÎN

4) не убывающая a_n£a_n+1, " nÎN

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x
y

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Чётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f(-х)=f(x) при всех х.

Нечётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f (-x) = -f (x).

Монотонная функция функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

1) Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)<f(x₂)

2) Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)£f(x₂)

4) Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂Þf(x₁)³f(x₂)

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

5.y=c где c –постоянная

Дата добавления: 2015-04-24