Пределы функции на бесконечности

Односторонние пределы

Предел функции.

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (x x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А.

В этом случае пишут ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, сответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

В определении предела функции lim f(x)=A при х=>x0считается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела функции.

Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке хо, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ;xo), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х0-0 или коротко: ƒ(хо-0)=А1

Аналогично определяется предел функции справа. Коротко предел справа обозначают ƒ(хо+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует lim f(x)=A, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А1=А2.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х0-0) и ƒ(х0+0) и они равны, то существует предел lim f(x)=A и А=ƒ(х0-0).

Если же А1¹А2, то етот придел не существует.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Дата добавления: 2015-04-24