Свойства функций непрерывных на отрезке. Теорема Вейенштрасса

Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва

Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если она определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 (то есть определена на некотором интервале, для которого x0 служит внутренней точкой, но в самой точке x0, возможно, не определена)

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О°(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1 ^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’, но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)¹b. Тогда точка х₀

^x®x_°^{+0 x®x}_°^-0

точка устранимого разрыва.

2)Точка х₀ называется точкой разрыва 2 ^ого рода функции если она не является точкой разрыва 1 ^ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить

Неограниченна сверху Þ неограниченна

б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

полуинтервал.

Непрерывна на (0;1]

2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1ÎМ

наименьшее значение 0 Î М

б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1ÎМ

нет наименьшего

в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

наименьшее значение 0 Î М

г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

xÎ(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения

Дата добавления: 2015-04-24