Дифференциал функции. Геометрический и физический смысл

Производная функции. Определение

Производная функци:

Производной от функции f в точке х наз. пре­дел отношения её приращения Dy в этой точке к соответствующему приращению аргумента Dx, когда послед­нее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:

f'(x)=lim_(Dx®0)Dy/Dx=lim_(Dx®0)f(x+Dx)–f(x)/Dx (1)

Но широко употребляются и другие обозначения: у', df(x)/dx, dy/dx. При фиксированном x величина Dy/Dx есть функция Dx: y(Dx)=Dy/Dx (Dx¹0). Для существования производной от f в точке х необходимо, чтобы функция f была определена в некоторой окрестности точки x, в том числе в самой точке x. Тогда функция y(Dx) определена для достаточно малых не рав­ных нулю Dx, т.е. для Dx, удовлетворяющих неравен­ствам 0<|Dx|<d, где d достаточно мало

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Дата добавления: 2015-04-24