Инвариативность формы первого дифференциала

Производная сложной функции

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=

(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(U×V)=(U×V)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V²=

(U'Vdx-V’Udx)/V²=(Vdu-Udv)/V²

Производная сложной функции:

Теорема №1: Если функция x=j(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[j(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)j'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=j(t). Придадим t приращение Dt¹0. это вызовет приращение Dx=j(t+Dt)– j(t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(Dx®0)Dy/Dx=lim_(Dx®0)f(x+Dx)–f(x)/Dx, имеем

Dy=f'(x)Dx+e(Dx)Dx (4), где e(Dx)®0 при Dх®0. Будем считать, что e(0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него Dx=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на Dt¹0: Dy/Dt=f'(x)(Dx/Dt)+ e(Dx)(Dx/Dt) (5). Пусть Dt®0. Тогда, потому что функция x(t)ºj(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при Dt®0. Тогда Dx®0 и e(Dx)®0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0×x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=j(x), x=y(x) и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_x=z'_yy'_xx'_x

если x -есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f(x)dx. Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент x является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция Рассмотрим сложную функцию y=f[(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую переменную, то по определению дифференциала функции (1)

Аналогично этому (2)

Используя теорему о сложной функции : равенство (1) можно переписать в виде и из (2) имеем, что

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме будет ли x независимой переменной или нет; разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение x, а дифференциал xкак функции от t.

Дата добавления: 2015-04-24