Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия

Второе правило Лопиталя

Первое правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® а, если lim_{x® а} f(x)= lim_{x® а} g(x)=0. Раскрыть эту неопредел-сть – это значит найти lim_{x® а} f(x)/g(x), если он существует.

Теорема №1: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х=а, за исключением, быть может, самой точки a, lim_{x® а} f(x)= lim_{x® а} g(x)=0, g(x) и g'(x)¹0 в этой окрестности. Тогда, если существует lim_{x® а} f'(x)/g'(x), то существует lim_{x® а} f(x)/g(x) и имеет место равенство lim_{x® а} f(x)/g(x)=lim_{x® а} f'(x)/g'(x) {1}. Доказательство: Будем считать, что а – конеч­ное число. (В случае а =¥ см. ниже замечание 3.) Доопределим функции f и g в точке х= а, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [ а,х], где х>а или х<а. На [ а,х] функции f и g непре­рывны, а на (а,x) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка S такая, что (f(x)–f(a))/(g(x)–g(a))=f'(x)/g'(x) (при xÎ(а,x)) или f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x).

Когда х® a и, то и x® a, поэтому в силу условия теоремы имеем lim_{x® а} f(x)/g(x)=lim_{x® а} f'(x)/g'(x) =lim_{x® а} f'(x)/g'(x) {2}при условии, что предел в правой части равенства суще­ствует. Этим теорема доказана. Замечания: [1] Если предел справа в {1}не существует, то предел слева может существовать.

[2] Если выражение f'(x)/g'(x) представляет неопределенность вида 0/0 г и функции f'(x), g'(х) удовлет­воряют условию теоремы №1, то lim_{x® а} f(x)/g(x)=lim_{x® а} f'(x)/g'(x)= lim_{x® а} f''(x)/g''(x)

При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и вто­рой и первый.

Теорема №2 (¥/¥): Пусть f и g определены и дифференцируемы в окрестности точки х = a, lim_{x® a} f(х)= lim_{x® a} g(х)=¥, g(x) и g'(x)¹0 в этой окрестности, тогда, если $lim_{x® а} f'(x)/g'(x), то $lim_{x® а} f(x)/g(x). [3] Если а =¥, то замена х=1/t сводит дело к а =0:

Выражаемые теоремами №1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть све­дено к вычислению предела отношения их производных, наз. правилом Лопиталя

Возрастание и убывание функции:

Теорема №1: Функция, непрерывная на отрезке [а,b], где а<b, и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (а,b), не убывает (строго возрастает) на [а,b]. Действительно, пусть а £х₁<х₂£b; тогда на отрезке [x₁,x₂] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (х₁;х₂) точка с, для которой f(x₂)–f(x₁)=(x₂–x₁) (где x₁<c<x₂). Если по условию f'³0 на (а,b), то f'(с)³0 и f(x₂)–f(x₁)³0 {1}; если же f'>0 на (а,b), то f'(c)>0 и f(x₂)–f(x₁)³0 {2}.

т.к. неравенства {1} и {2} имеют место, каковы бы ни были х₁, x₂, где а £х₁<х₂£b, то в первом случае f не убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а,b]. Теорема №2: Если функция имеет на интервале (а,b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a,b). В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство f(x)–f(x₁)=(x–x₁)f'(c), где х₁ –фиксированная точка интервала (а,b), х – произвольная его точка (она может находиться справа и слева от х₁) и с – некоторая, зависящая от х₁ и х точка, находящаяся между х₁ и х. Так как по условию f'(х)º0 на (а,b), то f'(c)=0 и f(x)=f(x₁)= C для всех хÎ(а,b). Заметим, что в приведенных теоремах ослабление на­лагаемых в них условий может привести к неверности утверждений. Определение: Будем говорить, что функция y=f(х) возрастает (убывает) в точке x₂, если существует число d>0 такое, что

Dy/Dx>0((Dy/Dx)<0) при 0<|Dx|<d. Очевидно, что если функция f(x) возрастает (убывает) на (а,b), то она возрастает (убывает) в каждой точке xÎ(a,b). Теорема №3. Если f'(x₀)>0 (<0), то функция у=f(x) возрастает (убывает) в точке х₀. Доказательство: Так как f'(x₀)>0=lim_Dx®0Dy/Dx, то, задав e>0, можно найти такое d>0, что f'(x₀)–e<Dy/Dx<f'(x₀)+e при |Dх|<d. Пусть f'(x₀)>0. Взявe<f'(x₀), получаем, что (Dy/Dx)>0 при |Dx|<, т.е. функция f возрастает в точке x₀. Замечания: [1] Если функция f имеет производную и не убывает на (а,b), то f'(х)³0 на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точке хÎ(a,b) производная от f была отрицательной – это бы противоречило теореме №3. Если f имеет производную и строго возрастает на (а,b) и если у нас других сведений об f нет, то все равно при­дётся заключить, что f'(х)³0 на (а,b), потому что строго возрастающая функция в отдельных точках (а,b) может иметь производную, равную нулю. Такой, например, яв­ляется функция х³, строго возрастающая на (–¥, ¥) и имеющая при x=0 производную, равную нулю. [2] Если функция возрастает в точке х₀, то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности точки x₀. Примером может служить функция

и F (х) возрастает в точке х=0. Однако эта функция немонотонна, так как производная F'(х)=1/2–2x sin(1/x)+cos(1/x) в любой малой окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицатель­ные значения. Для х_k 1/kp (k=l,2,...) при k чётном она равна 3/2, а при k нечетном она равна – 1/2. Теорема №4. Если функция f(x) чётная (нечетная) и дифференцируема на [–а,а], то f(х) нечетная (чет­ная) функция. Доказательство: Так как f(x)ºf(–x) "xÎ[– а, а ], то производные левой и правой части также совпадают: f'(х)º –f'(–х), т.е. f'(x)–нечетная функ­ция. (Этот же факт можно доказать, исходя из опреде­ления производной.)

Дата добавления: 2015-04-24