Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба, достаточное условие точки перегиба

Кривая y=f(x) обращена в точке x₀ выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность x₀ такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке x₀ (т.е. в точке , имеющей абсциссу х₀) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. в точ­ке х₁ кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х₂ – кверху). Вместо слов "выпукла кверху (книзу)" употреб­ляются слова "вогнута книзу (кверху)". Говорят, что точка х₀ есть точка перегиба кривой y=f(x), если при переходе х через x₀ точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. точка х₃ – точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое d>0 такое, что для всех хÎ(х₀–d,х₀) кри­вая находится с одной стороны касательной в х₀, а для всех хÎ(х₀,х₀+d) – с другой. Указанные определения вы­деляют возможные расположе­ния кривой относительно касательной к ней в доста­точно малой окрестности точки касания. Для функции ось х пересекает и касается графика функции в точке x=0 и х=0 не есть точка перегиба. Теорема №1: Если функция f имеет в точке x₀ вто­рую непрерывную производную и f'(x₀)>0 (<0), то кри­вая y=f(x) обращена в x₀ выпуклостью книзу (кверху).

. Следствие: Если x₀ есть точка перегиба кривой y=f(x) и в ней существует вторая производная f"(x₀), то последняя необходимо равна нулю (f"(x₀)=0). Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой у=f(х) ищут их среди корней уравнения f"(x)=0. Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой. Теорема №2: Если функция f такова, что производ­ная, f'^" непрерывна в x₀, a f"(x₀)=0 и f'^"(x₀)¹0, то кривая у=f(х) имеет в x₀ точку перегиба. Теорема №3: Пусть функция f обладает следующими свойствами: f''(x₀)=...=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) непрерывна в x₀ и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)¹0. Тогда, если n – нечетное число, то кривая у=f(х) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0 или f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, а если n –четное, то x₀ есть точка перегиба кривой. Теорема №4: Пусть функция f непрерывна на [а,b] и имеет вторую производную на (а,b). Для того чтобы кривая y=f(x) была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось неравенство f''(x)£0 (f''(x)³0) для всех хÎ(а,b).

Дата добавления: 2015-04-24