Асимптоты графиков функции

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Наибольшее(наименьшее) значение непрерывной функции f(x) на промежутке [a,b] достигается или в критических точках функции или на концах отрезка. Для определения наибольшего(наименьшего) значения функции надо вычислить значение функции во всех кретических точках на отрезке [a,b], значение f(a) и f(b) на концах отрезка и взять наибольшее(наименьшее) значение из получившихся чисел.

Если функция задана или непрерывна в некотором промежутке и если этот промежуток не явл. отрезком,то среди значений f(x) может и не быть ни наибольшего, ни наименьшего.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).

Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых .

Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a

f(x) = kx + b + b (3)

где b - бесконечно малая при x ® +Ґ.

Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а b ®0 при x ® +Ґ, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когда x ® -Ґ

Запишем условие (3) в виде

При x ® +Ґ слагаемое стремится к нулю, а потому

(4)

Теперь из уравнения

f(x) = kx + b + b

находим b:

b = f(x) - kx - b

или, так как ,

(5)

Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x®+Ґ асимптоту

y = kx + b,

где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x®-Ґ формулы такие же, но пределы находятся при x®-Ґ.

При k = 0 получаем уравнение

y = b

горизонтальной асимптоты, причем

Дата добавления: 2015-04-24