Метод математической индукции

Теоремы Кантора.

Отображения. Примеры.

Вещественные числа и их св-ва.

Вещественное число – это любое положительное, отрицательное число или ноль. Через них выражаются все результаты измерения физических величин.

Множество вещественных чисел = R; R = P*пересекает*Q (P – мн-во рациональных чисел, Q – иррациональных).

Св-ва: 1) замкнутость (если a&b – действит-е числа, то a*b & (a+b) также действит-ны)

2) коммутативность (a+b=b+a, a*b=b*a)

3) ассоциативность (a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c, a(bc) =(ab)c=abc)

4) единица (a*1=a)

5) дистрибутивность (a(b+c)=ab+ac)

6) сокращение (a+c=b+с => a=b; ac=bc при «с» не равно 0 => a=b)

Отображение f из множества X во множество Y – это правило, согласно которому каждому элементу x из X ставится в соответствие однозначно определенный y из Y. Отображение f из X в Y чаще всего обозначают следующим образом: f:X->Y.
Областью определения отображения называется множество X;
Областью значений отображения называется множество Y;
f(x) – образ отображения;
x – прообраз отображения;
f^-1(y) – полный прообраз отображения (множество всех прообразов.);
Множеством значений отображения E(f)=f(X) называют множество, состоящее из всей области определения множества;
Инъективным отображением называется отображение, для которого из неравенства x1 и x2 следует неравенство f(x1) и f(x2). Аналогично можно сказать, что из x1=x2 следует, f(x1)=f(x2).
Сюръективным называется отображение, для которого область определения совпадает с множеством значений отображения. Аналогично можно сказать, что полный прообраз не является пустым множеством для любого y из множества значений отображения.
Биективным отображением называется отображение, обладающее признаками инъективности и сюръективности одновременно.
Примеры отображений:

 Рассмотрим множество всех треугольников на плоскости. T – Множество площадей всех этих треугольников, R+ - множество всех положительных рациональных чисел. Правило f:T->R, согласно которому площадь каждого из треугольников на плоскости может быть выражена положительным рациональным числом является отображением.

 Для любого непустого множества X можно определить следующее правило f:X->X, согласно которому f(x)=x. Такое правило будет являться отображением, называемым так же тождественным.

1. Мн-во всех рациональных чисел четно.
2. Мн-во всех действительных чисел нечетно.

Индукция – переход от частных результатов к общим.

Принцип матем-ой индукции:

Если мн-во A(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и для n=k, следовательно, оно истинно и для числа n=k+1, где k – любое натуральное число.

Дата добавления: 2015-04-24