Скалярное произведение векторов. Базис и размерность векторного пространства

Базис и размерность векторного пространства.

Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного векторного пространства называется его базисом.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Обозначается: dim.

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Векторное пространство называется n -мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Теорема. Каждый вектор линейного n- мерного пространства можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Теорема. Если n - линейно независимые векторы пространства и любой вектор линейно выражается через n, то эти векторы образуют базис в.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

обозначается

, если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны.

Если векторы и заданы своими координатами: , ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле .

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов .

Дата добавления: 2015-04-24