Матрицы и действия над ними

Матрица -система элементов (чисел, функция и др. величин, над которыми можно производить математические действия), расположенных в виде прямоугольной схемы.

Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a₁₁ является элементом матрицы А). У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размера m*n, подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. I всегда меньше/равно m и n.

операции:

1. на число:

- умножение (деление) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

2. между матрицами:

- произведение матриц – нахождение суммы произведений эл-тов I строки матрицы А на j столбец матрицы Б.

Только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

- суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

- транспонирование матриц (эл-ты строк в столбцы, эл-ты столбцов в строки)

(A^T) ^T = A

(AB) ^T = B^TA^T

(A ^{− 1}) ^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{- 1} существует.

(A + B) ^T = A^T + B^T

Дата добавления: 2015-04-24