Определение. Ранг матрицы и методы его нахождения

Ранг матрицы и методы его нахождения

Теорема

Определение

Размерность линейного пространства :

число векторов в базисе .

2) Базис определяет систему координат в

Пусть - базис . Для любого вектора существует единственный набор чисел такой, что

Этот набор чисел называется координатами вектора в базисе .

Доказательство

1. Существование координат в базисе .

Так как - базис, то это максимальная линейно независимая система, а значит - линейно зависимая система. Значит ,не все равные 0, такие что

(*)

Если , то не все равны 0 и из (*) - линейно зависимая система – противоречие. Поэтому и из (*)

2. Единственность координат в базисе

Пусть

(1)

(2)

два разложения по базису и не все равны (т.е. . Тогда вычтем (1) – (2):

- линейно зависимая система – противоречие. [_]

Пусть - прямоугольная матрица размерностью .

Ранг матрицы = числу линейно независимых строк в матрице = числу линейно независимых столбцов в матрице .

Дата добавления: 2015-04-24