Определение. Вектор из называется собственным вектором (СВ) квадратной матрицы

Метод нахождения

Определение

Вектор из называется собственным вектором (СВ) квадратной матрицы порядка , если

,

где - некоторое число, называемое собственным значением (СЗ) СВ .

Почему СВ ?

для любого ,

т.е. был бы СВ с любым СЗ .

Пусть - квадратная матрица порядка 3. Ищем СВ в виде , где - неизвестные и , так как это СВ.

Можно записать

Таким образом, мы получили матричный вид однородной СЛУ с неизвестными :

(*)

Очевидно, что вектор является решением этой системы. По правилу Крамера, если , то система имеет единственное решение – вектор , но по определению не может быть СВ. Значит для нахождения СВ необходимо, чтобы

Пусть - квадратная матрица . Тогда

Называется характеристическим многочленом матрицы . Степень этого многочлена .

СВ матрицы существуют только для тех , которые являются корнями характеристического многочлена этой матрицы. Поэтому

1. Находим характеристический многочлен матрицы

и его корни - СЗ матрицы .

2. Подставляем в (*) . Общее решение этой СЛУ – множество всех СВ для СЗ .

3. Берем и т.д.

[_]

Дата добавления: 2015-04-24