Теорема. Ортонормированный базис

Определение

Определение

Ортонормированный базис

Следствие

Свойства

Свойства

Определение

Евклидово пространство. Скалярное произведение и его свойства

Евклидово пространство– это линейное пространство со скалярным произведением.

Пусть - стандартный базис ("бегущая единица"). Пусть . Тогда

Скалярным произведением называется число

(*)

1.

2. (доказательство: )

3.

4. ,

Что дает скалярное произведение?

I. Длина вектора :

1. ,

2.

3. Нормирование вектора : , .

II. Неравенство Коши-Буняковского

Для

, причем и коллинеарны ( или )

1. - неравенство треугольника

2. При

(1)

Из (1)

[_]

Пусть . и называются ортогональными () ()

Система называется ортонормированной, если она состоит из попарно перпендикулярных векторов длины 1.

при и или

Любая ортогональная система в линейно независима.

Доказательство

Пусть

(*)

Умножим (*) скалярно на :

Аналогично, умножив (*) на , получим и т.д. Получили, что .

Дата добавления: 2015-04-24