Абсолютная и относительная погрешности

Пример 3.

Пример 2.

Пример 1.

, т.к. < 0;

, т.к. < 0

Упростить выражение , если a < 0.

Решение.

Так как по условию а < 0, то |а| = -а. В результате получаем

Ответ:

Вычислить

Решение.

Имеем

Теперь раскроем знаки модулей.

Воспользуемся тем, что 1 < √ 3 < 2. Значит, √3 - 2 < 0, а √3 - 1 > 0.

Но тогда |√3 - 2| = -(√3 - 2) = 2- √3,

а |√3 - 1| = √3 - 1

В итоге получаем

5 Вопрос:

Анализ погрешностей явля­ется неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Часть этих погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ. С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с боль­шим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, по­требность в оценке фактической точности результата лишь возра­стает. Задача анализа погрешностей сводится, по существу, к отысканию их надежных границ и к соблюдению ус­ловий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок про­ходят через все стадии решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных.

На общую погрешность задачи, как это уже отмечалось, влия­ет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи — от построения математической мо­дели до производства вычислений.

Пусть R — точное значение результата решения некоторой за­дачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R_1. Образовавшаяся таким образом погрешность?₁ = R – R₁уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так назы­ваемая неустранимая погрешность).

Приступив к решению задачи в рамках математической моде­ли, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погреш­ность, приводящую к получению результата R₂ (вместоR₁ ). По­грешность?₂ = R₂ – R₁называют погрешностью метода.

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешно­стями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше по­грешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство, а также не­избежность округлений (в случае использования ЭВМ принуди­тельное округление диктуется конечностью разрядной сетки ма­шины) приводят к получению результата R₃,отличающегося от R₂ на величину вычислительной погрешности?₃ = R₃ – R_2.Полная погрешность?, очевидно, получается как сумма всех погрешностей:

? = R - R₃ = (R – R₁) + (R₁ - R₂) + (R₂ – R₃) =?₁ +?₂ +?₃.

При решении конкретных задач те или иные виды погрешно­стей могут отсутствовать или незначительно влиять на оконча­тельный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представ­ления о точности окончательного результата в каждом случае не­обходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности — погрешности математической модели. Располагая несовершенной математичес­кой моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла прово­дить утонченный анализ вычислительных ошибок. Отсюда следу­ет, что оценка неустранимой погрешности может послужить вес­ким доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудо­емкими.

Дата добавления: 2015-04-24