Ньютона бином

название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

(1)

(1) где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.

Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)² = а²+ 2ab + b², (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab²+ b³; при n = 4 получают (а + b)⁴ = a⁴+ 4 a ³ b + 6a²b² + 4ab³+ b⁴ и т.д.

Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a^n-kb^kобозначается так: C_n^k. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См.Комбинаторика):C_n^kесть число сочетаний изnразличных между собой элементов, взятых поk. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)ⁿравна определённому коэффициенту в разложении(а + b)ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а +b)³дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для(а + b)⁴. Вообще:

Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).

Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона (См. Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См. Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a^n-kb^k служит выражение п, обращается в нуль при всякомk > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) ⁿ (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

Дата добавления: 2015-04-24