Объединение счетных множеств. Необходимое и достаточное условие бесконечности множества (с доказательством)

Вопрос № 7. Бесконечные множества. Счетные множества. Примеры счетных множеств.

Вопрос № 6. Определение эквивалентности множеств. Мощность множества. Примеры множеств, имеющих одинаковую мощность. Связь понятий равенства и эквивалентности. Множество натуральных чисел (аксиомы Пеано). Определение конечного множества. Объединение конечных множеств.

Иллюстрация операций с помощью диаграмм Венна. Примеры.

Объединение (А∪В) – все элементы мн-ва А и все эл-ты мн-ва В, вместе взятые составляют новое мн-во.

Пересечение (А∩В) – так называются два мн-ва, эл-ты к-ых принадлежат как мн-ву А так и мн-ву В.

Разность (А\В) – мн-во, сост.из всех эл-ов А, не принадл.мн-ву В

Универсальное мн-во – содержащее все мыслимые объекты. Всякое мн-во рассматривают как часть большого мн-ва, например, треугольники, квадраты, окружности, можно считать подмн-ами плоскости, целые числа – подмн-ами действит.чисел.

Дополнение – мн-во всех тех эл-ов из УМ, к-ые не принадл.ему. (Если В – подмн-во А, то разность А и В также называют дополнением мн-ва).

Эквивалентность мн-в – если между мн-ами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие/каждому эл-ту мн-ва А сопоставлен один и только один эл-т мн-ва В и наоборот/

Объединение конечного (счётного) мн-ва счётных мн-в счётно.

Мощность мн-ва – это обобщение понятия количества (числа) эл-ов мн-ва, к-ое имеет смысл для всех мн-в, включая бесконечные.

Пр.: мн-во чётных целых чисел Е имеет такую же мощнсть, что и мн-во целых чисел Z. Определим так:

P: E→Z так P (X)= X/2 – биекция, поэтому |Z|=|E|.

Если мн-ва равны, то они эквивалентны, а если мн-ва эквив., то это незначит, что они равны.

Аксиомы Пеано:

1) 1 есть натуральное число;

2) Следующее за натур.ч-лом есть натур.ч-ло;

3) 1 не следует ни за каким натур.ч-лом;

4) Всякое натур.ч-ло следует только за одним натур.ч-лом;

5) Аксиома полной матем.индукции: если нек.высказывание истинно для n=1 и если из того, что оно верно для n следует, что оно верно для n+1, то оно верно для любого натурального х

Конечное мн-во – мн-во, состоящее из конечного числа эл-ов./ говорят, что мн-во А конечно, если оно эквивалентно нек.отрезку натур.ряда/

Мощность конечного м-ва совпадает с ч-лом его эл-ов

Объединение конечного мн-ва – счётно.

Бесконечное мн-во – мн-во, не явл-ся конечным. Пр.: мн-во натур.чисел.

Св-ва:

1) Всякое подмн-во бесконечного мн-ва конечно или счётно;

2) Сумма любого конечного или счётного мн-в есть счётное мн-во

3) Всякое бесконечное мн-во содержит счётное подмн-во.

Счётное мн-во – эквивалентное натуральному ряду. Это такое бескоенчное мн-во, элементы к-го можно «пронумеровать» при помощи мн-ва натур.чисел, при к-ом каждый эл-т мн-ва получит свой единств.номер.

Пр.: мн-во всех натуральных/ рациональных чисел.

Св-ва объединений счётных мн-в:

1) Объедин.2-ух счётных мн-в – счётно;

2) Объедин.счётного числа счётных мн-в – счётно.

Необходимое и достаточное условие бесконечности мн-ва (теорема): всякое мн-во бесконечно тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому своему подмн-ву; (≠∅).

(А – беск.)⟷ (∃В: В≠А; В≠∅; В⊂ А; В∼А)

Док-во теоремы: рассм.мн-во А

⊐А – бесконечно. Докажем, что оно эквив.нек.своему истинному подмн-ву;

∃В: {b1, b2, …,bn, bn+1}; В⊂А

По лемме у мн-ва А сущ.счётное подмн-во. Счётное подмн-во разобьём на 2

В1 {b1; b3; b5; …; bn+1;…}

B2 {b2; b4; b6; …; b2n;…}

B=B1∪B2, B1∩B2=∅

Очев.,что В1∼В2=В

Представим мн-во А след. сп-бом: А= В∪(А\В)

Рассм.мн-во А\В2; А\В2=В1∪(А\В)

Докажем, что (А\В2) ∼А

А=В∪(А\В); А\В2=В∪(А\В)

Очев,что (А\В)∼(А\В)

}⇒ А∼(А\В2)

В∼В1

Заметим, что мн-во (А\В2) – беск., как объединение счётного мн-ва В1 с мн-ом (А\В).

ч.т.д.

Вопрос №8. Понятие иррационального числа. Доказательство иррациональности Множество вещественных (действительных) чисел Несчетность множества вещественных чисел из интервала (0;1)(с доказательством). Континуальные множества. Примеры.

Иррациональное число -вещественное число,кот. не явл. рациональным,т.е кот. не может быть представлено в виде дроби m/n, где m-целое число, n-натуральное число

Док-во того,что √2 -иррацианальное число

Цель Евклида состояла в доказательстве того, что число √2 не представимо в виде дроби. Поскольку Евклид использовал доказательство от противного, первый шаг состоял в предположении, что верно противоположное утверждение, т.е. что число √2 представимо в виде некоторой неизвестной дроби. Запишем эту дробь в виде p/q, где p и q — два целых числа.

Прежде чем приступать к самому доказательству, необходимо напомнить некоторые основные свойства дробей и четных чисел.

1) Если взять любое число и умножить его на 2, то произведение должно быть четным. По существу, это определение четного числа.

2) Если квадрат некоторого числа четен, то и само число должно быть четным.

3) Наконец, дроби можно сокращать: 16/24 это то же самое число, что и 8/12. Чтобы убедиться в этом разделите числитель и знаменатель дроби 16/24 на общий множитель 2. Кроме того, число 8/12 это же самое, что и 4/6, а 4/6 это же самое, что и 2/3. Дробь 2/3 не подлежит дальнейшему сокращению, так как 2 и 3 не имеют общих множителей. Дробь невозможно сокращать до бесконечности.

Помнению Евклида число √2 не представимо в виде дроби. Но поскольку Евклид использовал доказательство от противного, он начал с предположения, что дробь p/q, равная числу √2, существует, а затем исследовал, к каким последствиям приводит такое предположение:√2 = p/q.

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем:2 = p²/q.²

После несложного преобразования запишем это равенство в виде:2q²= p².

Из 1) мы знаем, что число p² должно быть четным. Кроме того, из 2) нам известно, что число p также должно быть четным. Но если p четно, то, как следует из 1), его можно записать в виде 2m, где m — некоторое другое целое число. Подставляя p = 2m в равенство для p², получаем:2q ²= (2m)² = 4m².

Сокращаем правую и левую части равенства на 2:q² = 2m.²

Число q² должно быть четным. Значит, и само число q должно быть четным. Но если это так, то q можно записать в виде q = 2n, где n — некоторое другое целое число. Возвращаясь к исходной записи числа √2, получаем:√2 = p/q = 2m/2n.

Дробь 2m/2n можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:√2 = m/n.

Мы получаем дробь m/n, которая проще, чем p/q (имеет меньший числитель и знаменатель). Теперь мы как бы снова оказались находимся на исходной позиции, и, проделав с дробью m/n все, что мы проделали с дробью p/qn, получим в результате еще более простую дробь, например, g/h. Проделав с этой дробью тоже самое, приведем ее к еще более простой дроби t/f, и т.д. Аналогичную процедуру можно проделывать бесконечное число раз. Но из 3) мы знаем, что дробь невозможно упрощать бесконечно — всегда существует простейшая дробь. Но наша исходная гипотетическая дробь p/q, насколько можно судить, не подчиняется этому правилу. Следовательно мы получили противоречие. Итак, мы можем утверждать, что число √2 не представимо в виде дроби, а это означает оно является иррациональным числом.

Мн-во вещественных чисел-является бесконечным, состоит из рациональных и иррациональных чисел.Рациональные-десятичные, периодические дроби, представленные в виде p/q,q>0,p и q-целые числа.Иррациональные-десятичные непериодические дроби,например,√2,³√5 и тд.

Континуальное мн-во- мн-во эквивалентное мн-ву всех действит. чисел, заключ. между 0 и 1.

Вопрос №9. Определение бинарного отношения на множестве. Отношение эквивалентности. Примеры эквивалентностей. Связь отношения эквивалентности и разбиения множества на классы (теорема с доказательством).

Бинарное отношение эл-тов на мн-ве-мн-во упорядоченных пар эл-тов.

Отношение эквивалентности(~)-это бинарное отношение,для кот. Выполнены следующие условия:

1)рефлексивность: a~a для любого a в X

2)симметричность: если а~b,то b~a

3)транзитивность:если a~b и b~c,то a~c

Например,множество пар целых чисел, которые имеют одинаковый остаток при делении на одно и то же число

Каждому отношению эквивалентности соотв. разбиение мн-ва на классы и каждому разбиению мн-ва на классы определяет соответствие.

Дата добавления: 2015-04-24