Якісна теорія ДС. Фазовий простір. Фазовий об'єм

З допомогою апарату диференціального числення можна вияснити основні якісні характеристики поведінки складної функції навіть без детальної побудови її графіка.Для цього досить виявити особливі точки, у яких її похідні перетворюються в нуль, визначити ділянки зростання та спадання функції, знайти точки перетину з осями координат, тощо.

Такий підхід є зручним і для диференціальних моделей динамічних систем, які володіють аналітичними розв’язками лише у малому числі класів задач (напр. лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, спеціальні рівняння, що інтегруються у квадратурах, тощо). Втім навіть аналітичні розв’язки бувають настільки складними, що безпосередній їх аналіз є практично недосяжним. На практиці ж потрібними є не стільки сам вигляд розв’язків, скільки їх якісні характеристики: кількість станів рівноваги, стійкість, існування періодичних траекторій, і т.п. Така ідея аналізу характеристик системи без її прямого інтегрування була покладена Пуанкаре в основу побудови якісної теорії динамічних систем.

Для якісного аналізу систем другого (інколи й третього) порядків зручно і наглядно застосувати спеціальний, т.з. фазовий, простір, у якому самі розв’язки є осями координат, а час виступає у ролі параметра. Значення цього простору заслуговує на детальніше обговорення.

Фазовий простір. Розглянемо систему двох диференціальних рівнянь

(1)

з неперервними гладкими функціями F₁ та F₂ і параметрами λ₁ та λ₂ (тут і нижче означає похідну за часом). Розв’язками цієї системи є деякі шукані функції

(2)

Класично їх поведінку зображають на площинах (x,t) та (y,t). Натомість Пуанкаре запропонував утворити спеціальну систему координат, на осях якої відкладаються значення шуканих розв’язків (x,y). У кожний момент (фазу) часу t розв’язок системи (1) зображається єдиною точкою на цій площині. Починаючи від початкової умови (x₀,y₀), з плином часу t ця точка утворює певну фазову траєкторію, яка описує еволюцію стану досліджуваної системи. Така система координат отримала назву фазового простору і зручна тим, що акцентує увагу на взаємозалежності розв’язків задачі.

Будь–яка область у фазовому просторі не змінює свого об'єму при еволюції системи, щільність точок системи, що рухаються крізь фазовий простір, незмінна в часі.

Дата добавления: 2015-05-08