Порядок Шарковського

Фрактальність хаосу

Динамічний (детермінований) хаос і фрактали – поняття, що ввійшли в наукову картину світу порівняно недавно, лише в останній чверті ХХ століття. З тих пір інтерес до них не згасає не тільки в колі фахівців – фізиків, математиків, біологів і т.д., але і серед людей, далеких від науки. Дослідження, пов'язані з фракталами і детермінованим хаосом, змінюють багато звичних уявлень про навколишній світ. Причому не про світ мікрооб'єктів, де око людини безсиле без спеціальної техніки, і не про явища космічного масштабу, а про найзвичайніші предмети: хмари, річки, дерева, гори, трави. Фрактали змушують переглянути наші погляди на геометричні властивості природних і штучних об'єктів, а динамічний хаос вносить радикальні зміни до розуміння того, як ці об'єкти можуть вести себе в часі. Розроблені на основі цих понять теорії відкривають нові можливості в різних галузях знань.

Нерідко те, шо ми спостерігаємо в природі інтригує нас нескінченним повторенням того ж узору, збільшеного чи зменшеного в декілька разів. Наприклад, у дерев є гілки. На цих гілках є менші гілки і т.д.. Теоретично, елемент "розгілчення" повторюється багато разів, все зменшуючись. Те ж можна помітити, дивлячись на фото гірського рельєфу. Спробуйте дещо наблизити зображення гірського пасма – і знову побачимо гори. Наблизимо картинку ще ближче – ми й далі бачитимемо те, що нагадує гори, завдяки нашому вмінню розрізняти об'єкти на малюнку. Так проявляється характерна для фракталів самоподібність.

Тому можна сказати, що динамічний хаос не є таким хаосом, він має певну структуру, зокрема фрактальну структуру.

Зі школи ми вчили, що одиниця менше двох, а два менше трьох і т.д.:

1 < 2 < 3 < 4 < 5 <...

А найбільшого числа – немає і не може бути. Проте, в хаотичній динаміці все йде інакше. Найменше число – 3. Найбільше – існує і рівно... 1. А решта чисел розташовані між ними в досить дивному порядку – "порядку Шарковського":

3 < 5 < 7 < 9 <... < 2*3 < 2*5 < 2*7... < 2²*3 < 2²*5 < 2²*7... < 2³*3 < 2³*5 < 2³*7...... < 2ⁿ< 2ⁿ–1... < 2 < 1

Спочатку йдуть всі непарні числа, потім всі непарні, помножені на 2, потім – на 4, і так далі Після нескінченної множини таких нескінченних "секцій" стоїть секція степенів двійки, поставлених в зворотному порядку.

Теорема Шарковського. Якщо безперервне відображення одновимірного інтервалу в себе має цикл періоду m, то воно має також і цикли всіх періодів m', передуючих числу m у переліку всіх цілих чисел, виписаних в порядку Шарковського.

Моделлю багатьох видів хаотичної поведінки є ітераційні процеси, пов'язані з простими функціями, залежними від однієї змінної. Візьмемо яку–небудь функцію f(x). Виберемо яке–небудь початкове значення x0. І стежитимемо за тим, як поводиться послідовність x₀, x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₂)..., x_n+1 = f(x_n). Такі процеси часто виникають в чисельних розрахунках, при вирішенні рівнянь, але в цьому випадку ми самі контролюємо рух послідовності. А якщо простежити за тим, як вони поводяться "на волі"? Наприклад, які з них через деякий час повертаються в початкове положення, утворюючи цикли?

Що ж з'ясовується? Деякі "ікси" нікуди не йдуть – це нерухомі точки, або цикли періоду 1 (це та сама одиниця, яка найбільша в порядку Шарковського). Для таких іксів x₀ = f(x₀), і ніякої динаміки не виникає. Наприклад маємо функцію f(x)=1–x, поклавши x₀=0,5 ми отримаємо: x₁ = f(x₀) = 1–x₀ = 1–0,5 = 0,5 = x₀. Аналогічна ситуація складеться, коли рахуватимемо x₂, …, x_n–1, x_n. Трохи складніші цикли мають період, або довжину 2: при другому застосуванні f(x) ми повертаємося туди, звідки почали: x₁ = f(x₀), x₀ = f(x₁). Візьмімо ту ж функцію f(x)=1 – x. Отже, x₁ = f(x₀) = 1 – x₀, x₂ = f(x₁) = 1 – x₁ = 1 – (1 – x₀) = x₀. Як з’ясувалось при кожному наступному пошуку значення функції ми потраплятимемо або в x₀ або в x₁. Як було показано вище, ця ж функція має цикл періоду 1(при значенні x=0,5). Можуть бути цикли будь–якої довжини, але якщо є цикл довжини 4, то обов'язково є цикли довжини 2 і 1. До того ж, якщо є цикл довжини k, то обов'язково є і цикли всіх довжин, що стоять правіше k в порядку Шарковського.

Тепер пригадаємо про трійку. Вона стоїть найлівіше. Значить, якщо існує цикл довжини 3, то є і цикли будь–якої довжини. Тобто, якщо хоч одна точка крутиться по орбіті завдовжки рівно 3, то є інша точка, яка крутиться по орбіті завдовжки, наприклад, 45654, ще одна – по орбіті довжини 56456169546 і так далі... А що це, як не хаос! Лі і Йоркв 1975 році так і назвали свою статтю: "Період 3 викликає хаос". Це абсолютно універсальний факт, він не залежить від того, яку функцію f ми візьмемо!

Дата добавления: 2015-05-08