Важливу роль у дослідженнях якісних характеристик розв’язків відіграє пошук та аналіз особливих точок, у яких система знаходится у рівноважному (стаціонарному за часом) стані . Подивимось на сказане на конкретних прикладах.
Приклад 1. Лінійна система диференціальних рівнянь.
з початковими умовами та розв’язком
Особлива точка одна х = 0, у = 0 (за умови ). Втім, сценарій досягнення, чи виходу зі стану рівноваги в основному залежить від значення параметрів λ1 і λ2. Для початку розглянемо випадок . Тоді очевидно, що за будь–яких початкових умов (х0, у0) розв’язок з часом прямуватиме до точки рівноваги (0, 0), як це зображено у фазових координатах на рис.1а. Такий тип рівноваги отримав назву стійкого вузла. Для (рис.1б) будь–які ненульові початкові умови віддаляють траєкторії розв’язку з часом від стаціонарної точки, яка у цьому випадку є нестійким вузлом.. Фазовий портрет системи для різнознакових параметрів зображено рис.1с. Траєкторії прямують до точки рівноваги за одною координатою і віддаляються за іншою. Таку точку називають сідлом.
(x0,y0)4
(x0,y0)2
(x0,y0)3
X
Y
(x0,y0)1
Рис. 1. Еволюція розв’язку за різних параметрів λ1 та λ2
X
Y
X
Y
a) λ1< 0 та λ2< 0
б) λ1> 0 та λ2> 0
c) λ1< 0 та λ2> 0
стійкий вузол
нестійкий вузол
сідло
Рис. 3. Сідло–вузол.
Х
Y
Приклад 2. Нелінійні системи. Сідло–вузол.
За відповідного вибору моделі особливі точки можуть складати комбінації з вже описаних. Наприклад, фазовий портрет системи системи:
містить точку, яка наполовину є сідлом, а наполовину стійким вузлом, через що і отримала відповідну назву.
Фокус. Важливу роль у дослідженнях якісних характеристик розв’язків відіграє пошук та аналіз особливих точок, у яких система знаходится у рівноважному (стаціонарному за часом) стані
Приклад 3. Нелінійна система в полярних координатах.
В силу того, що радіус ρ ≥ 0, знак величини залежить від величини . Зокрема, для λ ≤ 0 єдина точка рівноваги досягається у початку координат. Фазові траєкторії по спіралі ніби намотуються на неї (рис. 2). В залежності від сходження чи розходження розв’язків таку точку називають стійким, або нестійким фокусом. Цікавішим є випадок ρ = λ > 0, за якого фазова траєкторія описує коло.Через те, що всі інші розв’язки для λ > 0 з довільною початковою умовою ρ0 ≠ λ за до нього наближаються, така траєкторія отримала назву граничного циклу.
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
. Подивимось на сказане на конкретних прикладах.
та розв’язком
). Втім, сценарій досягнення, чи виходу зі стану рівноваги в основному залежить від значення параметрів λ1 і λ2. Для початку розглянемо випадок 
. Тоді очевидно, що за будь–яких початкових умов (х0, у0) розв’язок з часом прямуватиме до точки рівноваги (0, 0), як це зображено у фазових координатах на рис.1а. Такий тип рівноваги отримав назву стійкого вузла. Для 
(рис.1б) будь–які ненульові початкові умови віддаляють траєкторії розв’язку з часом від стаціонарної точки, яка у цьому випадку є нестійким вузлом.. Фазовий портрет системи для різнознакових параметрів 
зображено рис.1с. Траєкторії прямують до точки рівноваги за одною координатою і віддаляються за іншою. Таку точку називають сідлом.
залежить від величини 
. Зокрема, для λ ≤ 0 єдина точка рівноваги 
досягається у початку координат. Фазові траєкторії по спіралі ніби намотуються на неї (рис. 2). В залежності від сходження чи розходження розв’язків таку точку називають стійким, або нестійким фокусом. Цікавішим є випадок ρ = λ > 0, за якого фазова траєкторія описує коло.Через те, що всі інші розв’язки для λ > 0 з довільною початковою умовою ρ0 ≠ λ за 
до нього наближаються, така траєкторія отримала назву граничного циклу. 