Нелінійні системи. Автоколивання. Квазіперіодичні коливання

Атрактори динамічних систем. Регулярні атрактори

Уxx столітті інформаційних технологій багато хто став задавати питання про зв'язки між хаосом і порядком. І кращі голови людства стали замислюватися над тим, що ж конкретно означають ці поняття. З'явилася нова наука – синергетика, яка вивчає ці явища. У цей час було зроблено багато важливих відкриттів, одним з них був дивний атрактор.

Атрактор (attractor) у перекладі з англійської означає "притягувач"; в даному випадку це точка або безліч точок у фазовому просторі, до яких притягуються всі траєкторії з деякого околу атрактора, що називається також областю тяжіння.

Математично атрактори визначаються як граничні значення розв'язків диференціальних рівнянь.

З позиції термодинаміки, атрактор характеризує стан динамічної рівноваги, тобто стаціонарний режим розвитку системи, коли її ентропія протягом часу значно не змінюється при безперервному надходженні енергії і речовини. Система, що знаходиться в стані динамічної рівноваги (атрактора), є самоорганізованою структурою.

В синергетиці розрізняють два види атракторів: регулярні та дивні. При станах системи, що визначаються простим (регулярним) атрактором, траєкторія розвитку системи є передбачуваною.

Регулярними атракторами прийнято вважати:

*Стійкі (асимптотично стійкі) особливі точки

*Стійкі (орбітально асимптотично стійкі) граничні цикли

*Стійкі інваріантні тори

Атрактор–точка виникає в дисипативних динамічних системах (простіше кажучи, в системах, де енергія не зберігається). Точки фазового простору, що відповідають нульовому значенню швидкості і локальному мінімуму потенційної енергії, є стійкими точками тяжіння траєкторій.

У динамічних системах можлива ситуація, коли мале відхилення від траєкторії–циклу призводить до траєкторії, яка з часом як завгодно мало відхиляється від траєкторії–циклу. Такі цикли називаються граничними циклами або асимптотично стійкими циклами.

Відомо, що диференціальні рівняння на площині можуть мати тільки регулярні атрактори перших двох типів (особливі точки і граничні цикли). Диференціальні рівняння в багатовимірних фазових просторах (починаючи з тривимірних) можуть мати дивні атрактори, які не є об'єднанням або перетином гладких багатовидів.

Нелінійні системи – це такий тип коливних систем, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями. На відміну від лінійних систем, вони не володіють властивістю суперпозиції. Їх властивості та характеристики залежать від стану системи. Однак, багато таких систем підлягають лінеаризації – методу наближеного представлення замкнутої нелінійної системи лінійною, в деякій мірі еквівалентною початковій.

Автоколивання— коливання, амплітуда і період яких залежать від властивостей самої системи і не залежать від початкових умов, наприклад від початкового запасу енергії. Цим автоколивання відмінні від власних і вимушених коливань.

Практично важливий клас нелінійних коливань утворюють самозбуджувані коливання без затухання в дисипативній динамічній системі, котрі виникають унаслідок внутрішних її властивостей, підтримуються неперіодичним зовнішним джерелом енергії та не залежать від початкоих умов. (Листок, струна, орган, турбулентність, флаттер, …).

Математичним образом автоколивань є граничний цикл Пуанкаре.

ẍ – γẋ(1 – х²) + х = 0, ẍ – від'ємне тертя – джерело енергії

Складнішою є задача з вимушуючою періодичною силою. Наприклад, у системі Ван дер Поля:

ẍ – γẋ(1 – βх²) + ω₀²х = f₀cosω₁t

При зростанні ω₀ – ω₁ захоплений періодичний розв'язок стає нестійким і за умови ірраціонального співвідношення між цими частотами з'являється новий тип руху – комбінаційні коливання, що отримали назву квазіперіодичних.

Дата добавления: 2015-05-08