Метод функцій Ляпунова

Показники Ляпунова

Сигнатура динамічних систем

Теорема Ляпунова: (ẋ = "х з хвилькою")

1. Для будь–якого рівняння dẋ/dt=Aẋіснує характеристичний показник Ляпунова – число, відмінне від ±∞, що визначається як верхня межа A_ẋ(t) = lim_T→∞(1/T)ln||ẋ(T)||

2. При множенні розв'язку на константу показник Ляпунова не змінюється, тобто A_Cẋ(t) = A_ẋ(t).

3. Показник Ляпунова лінійної комбінації двох розв'язків ẋ₁(t) іẋ₂(t), менший або рівний більшому з показників цих двох розв'язків, тобтоA_{C1ẋ1+C2ẋ2}≤max(A_ẋ1, A_ẋ2)

4. Існує N (розмірність фазового простору) лінійно незалежних розв'язків рівняння ẋ(t) (фундаментальна система розв'язків), яким відповідають Nпоказників Ляпунова, пронумерованих в порядку спадання: A₁ ≥ A₂ ≥ … ≥ A_N. Найбільше з цих чисел A₁називають старшим показником Ляпунова.

Спектр показників Ляпунова, тобто набір чисел {A₁, A₂, …, A_N}, варто розглядати як характеристику лінійної системи рівнянь, а не якого небудь одного розв'язку ẋ(t), оскільки він не залежить від вибору фундаментальної системи { ẋ_i(t)}. Для будь–якого розв'язку ẋ(t) показником Ляпунова обов'язково буде одне з чисел {A₁, A₂, …, A_N}.

Розглянемо неавтономну модель dx/dt = F(x, t) (1)

Функція ν(X) називається додатньо–визначеною в області D: {||X|| <ρ; t ≥t₀}, якщо ν(X) > 0 при X ≠ 0 (ν(0) = 0).

Неперервно диференційовна в Dскалярна функція Vназивається функцією Ляпунова системи (1), якщоdV(x, t)/dt = ∂V(x, t)/ ∂t + (∂V(x, t)/ ∂x, F(x, t)) ≤ 0.

Зауважимо, що у випадку заміни знаку нерівності на рівність Vбула б першим інтегралом системи. Тобто на відміну від перших інтегралів функції Ляпунова вздовж розв’язку ніде не зростають.

Важливо, що для побудови функцій Ляпунова знаходження самих розв’язків системи не потрібне.

Для лінійних та квазілінійних систем функції Ляпунова найчастіше будують у вигляді квадратичних форм.

Дата добавления: 2015-05-08