Лінійний аналіз стійкості

Стійкість за Ляпуновим

Рух системи називається стійким за Ляпуновим, якщо всі інші можливі її рухи, котрі мало відрізняються від нього у початковий момент часу, і далі мало будуть від нього відхилятися на всьому часовому інтервалі спостереження.

Задамося двома сусідніми траєкторіями X(t) та Y(t), що стартують з близьких точок х₀ та y₀ відповідно. Тоді, згідно з Ляпуновим, траекторія X(t) є стійкою, якщо для довільно вибраного числа ε > 0, знайдеться таке δ > 0, що за старту δ–близьких траекторій ||х₀– y₀|| < δ їх розходження залишиться ε –обмеженим ||X(t) – Y(t)|| < ε у будь–який момент часу t > 0

Якщо крім наведених умов стійкості виконується ще й lim_t→∞ ||X(t) – Y(t)|| = 0, то траєкторія називається асимптотично стійкою. А якщо зменшення початкового збурення має експоненціальний характер ||X(t) – Y(t)|| ≤ Me^{–γ(t–t0)} ||x₀ – y₀||, то і стійкість називається експоненціальною.

Порівняння двох траєкторій у підході Ляпунова дало змогу використати потужний і добре розроблений апарат варіаційного числення. Розглянемо модель:

dx/dt = F(x), де x – вектор шуканих функцій (x₁, x₂, …, x_n)у n–мірному фазовому просторі;

y(t) = x(t) + ẋ(t) – слабко збурений розв'язок (ẋ означає "х з хвилькою");

dx/dt + dẋ/dt = F(x) + A(x)ẋ + O(ẋ²), де матриця Якобі

dẋ/dt = A(x(t))ẋ – стійкість у першому наближенні.

Для розуміння ідеї знаходження числових показників розглянемо спочатку модель з постійними у часі коефіцієнтами матриці А, тоді

µ_s – власні числа;x_s – власні вектори

Отож, невеликі (у межах застосовності лінійного наближення) початкові збурення системи у напрямках власних векторів dẋ_s/dt = µ_sx_s у часі поширюються експоненціально ẋ_s = e^{µ(s–те)*t}

Таким чином, тільки за від’ємності дійсних частин всіх власних значень збурення надалі залишатимуться обмеженими, і, навпаки, для нестійкості системи досить наявності хоча б одного власного числа з додатньою дійсною частиною. В теорії звичайних диференціальних рівнянь доведено, що ця ж умова стійкості зберігається для будь–яких напрямків початкового збурення.

Дата добавления: 2015-05-08