Принцип Даламбера-Лагранжа в интегральной форме

В данном разделе для механических систем с двусторонними связями мы сформулируем условие идеальности связей и принцип Даламбера-Лагранжа в интегральном виде [15, 16]. Это нам понадобится в дальнейшем для обоснования уравнений движения систем с конфигурационными ограничениями.

Сначала сформулируем принцип Даламбера-Лагранжа в локальной форме. Рассмотрим систему из материальных точек, перемещающихся в пространстве под действием приложенных к ним сил. Координаты точек объединим в один вектор , где . В отсутствие связей движение системы описывается вторым законом Ньютона

, (7.1)

где – массы точек, а – вектор сил, действующих на точки системы. Наложим на систему семейство линейных удерживающих связей:

, (7.2)

где – число связей. Запишем (7.2) в матричной форме.

(7.3)

где – матрица , .

Независимость связей. Удерживающие связи независимы, если всюду.

Возможные перемещения. Возможным перемещением в точке называется любой вектор удовлетворяющий условию

. (7.4)

Возможные перемещения образуют линейное пространство возможных перемещений размерности (если связи независимы).

Уравнения движения системы со связями выводятся из следующих принципов.

Принцип освобождения от связей. Пусть – траектория движения системы со связями (7.3). Тогда систему можно освободить от связей и добавить некую силу – реакцию связей таким образом, что кривая останется траекторией освобожденной системы. Реакция связей при этом предполагается, по меньшей мере, измеримой функцией. Для траектории будут справедливы следующие уравнения движения.

, (7.5)

Идеальность связей. Связи (7.3) являются идеальными, т.е. для любого возможного перемещения в любой точке выполнено соотношение

(7.6)

или, как принято говорить, элементарная работа сил реакции связей на возможных перемещениях равна нулю. Условие идеальности связей эквивалентно тому, что найдется такая вектор-функция , что , где означает транспонирование матрицы . Найдя из (7.5) и, подставив в (7.6) получим эквивалентную форму записи этого условия: .

Принцип Даламбера-Лаграгжа. Пусть кривая удовлетворяет уравнениям связей (7.2-7.3). Кривая является траекторией движения системы с идеальными связями (7.3) тогда и только тогда, когда для любого возможного перемещения в любой точке выполнено соотношение

(7.7)

Уравнения Лагранжа первого рода. Принцип Даламбера-Лагранжа эквивалентен уравнениям Лагранжа первого рода. Пусть кривая удовлетворяет уравнениям связей (7.2-7.3). Кривая является траекторией движения системы с идеальными связями (7.3) тогда и только тогда, когда найдется такая вектор-функция , что

, (7.8)

Разложение реакций. Из уравнений Лагранжа видна справедливость следующей аксиомы разложения реакций для удерживающих идеальных связей. Разобьем связи (7.2-7.3) на две (или более) группы, например связи и связи . Тогда реакции связей можно представить в виде суммы двух слагаемых , которые мы будем называть соответственно реакциями первой и второй группы связей. При этом для реакций первой группы будут выполнены условия идеальности по отношению к первой группе связей

для всех таких, что при

а для реакций второй группы будут выполнены условия идеальности по отношению ко второй группе связей

для всех таких, что при

Если связи независимы, то такое разложение единственно.

Перейдем теперь к формулировке принципа Даламбера-Лагранжа в интегральной форме. Мы будем рассматривать движение на некотором отрезке времени .

Возможной вариацией кривой будем называть гладкую вектор-функцию , для всех удовлетворяющую условию

. (7.9)

По сути дела – это возможное перемещение в точке .

Принцип освобождения от связей в интегральной форме. Пусть – траектория движения системы со связями (7.3). Тогда систему можно освободить от связей и добавить некую силу – реакцию связей таким образом, что кривая останется траекторией освобожденной системы. Для траектории в любой момент времени будут справедливы следующие уравнения.

, (7.10)

или в импульсной форме

, (7.11)

где абсолютно непрерывные функции такие, что .

Идеальность связей в интегральной форме. Связи (7.3) являются идеальными, если для любой возможной вариации траектории движения в любой момент времени выполнено соотношение

(7.11)

мы будем говорить, что интегральная элементарная работа сил реакции связей на возможных вариациях равна нулю. Найдя из (7.4) и подставив в (7.11) получим эквивалентную форму записи этого условия:

Принцип Даламбера-Лаграгжа в интегральной форме. Пусть кривая удовлетворяет уравнениям связей (7.3). Кривая является траекторией движения системы с идеальными связями (7.3) тогда и только тогда, когда для любой возможной вариации выполнено соотношение

(7.12)

Уравнения Лагранжа первого рода в интегральной форме. Принцип Даламбера-Лагранжа эквивалентен уравнениям Лагранжа первого рода. Пусть кривая удовлетворяет уравнениям связей (7.3). Кривая является траекторией движения системы с идеальными связями (7.3) тогда и только тогда, когда найдется такая вектор-функция , что в любой момент времени выполнено

(7.13)

или в импульсной форме

, (7.11)

где абсолютно непрерывные функции такие, что . Для безударных движений, когда траектории являются гладкими (скорости непрерывны по времени), локальный и интегральный принципы Даламбера-Лагранжа эквивалентны. Это можно показать, продифференцировав (7.10-7.12) по времени.

Дата добавления: 2015-05-23