Математичне сподівання випадкової величини

Характеристики розподілу випадкової величини

Щоб охарактеризувати випадкову величину достатньо задати її функцію розподілу. Однак в багатьох практичних задачах ця інформація є занадто повною, достатньо знати лише деякі числа, що характеризують розподіл, тобто числові характеристики розподілу. Такими характеристиками є математичне сподівання, дисперсія, середньо квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес, квантилі.

Математичним сподіванням дискретно розподіленої випадкової величини будемо називати суму добутків значень випадкової величини на їх імовірності.

(ІІ.7)

Приклад 7. Знайти математичне сподівання випадкової величини, якою є кількість очок, що випадає при киданні грального кубика.

Розв’язання: Розподіл вказаної випадкової величини має вигляд

хі
рі	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6	^1/6

Тому користуючись формулою (ІІ.7) знаходимо

.

Математичним сподіванням скалярної неперервно розподіленої випадкової величини будемо називати інтеграл по всій дійсній осі від добутку випадкової величини на її щільність розподілу.

. (ІІ.8)

Приклад 8. Знайти математичне сподівання випадкової величини Т, заданої функцією розподілу .

Розв’язання: Продиференціювавши знаходимо щільність розподілу випадкової величини Т:

.

Далі за формулою (ІІ.8) отримуємо . Виконавши команду Maple: int(2*t/(1+t)^4,t=0..infinity);, знаходимо МТ = 0,5.

Математичне сподівання випадкової величини має такі властивості.

1. Математичне сподівання сталої випадкової величини дорівнює цій величині.(Мс = с, де с = const).

2. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань. (M (X + Y) = MX + MY).

3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань. (M (X × Y)= MX × MY).

4. Сталу величину можна виносити за знак математичного сподівання. (M (сX) = сMX, де с = const).

5. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання дорівнює нулеві. (М (Х – МХ) = 0).

Різниця між випадковою величиною і її математичним сподіванням називається центрованою випадковою величиною. Властивість 5 дозволяє стверджувати, що математичне сподівання центрованої випадкової величини дорівнює нулеві.

Дата добавления: 2015-05-23