Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тензор напруги




ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ І ПРУЖНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ КРИСТАЛІВ.

 

 

Змістом теорії пружності є феноменологічний опис деформацій (малих по величині) і напруги у твердих пружних тілах, у тому числі, у кристалах.

 

 

Напружений стан тіла можна описати цілком, якщо задати в будь-якій його точці напруги, що діє на нескінченно малій площадці довільної орієнтації. Площадка ця буде характеризуватися одиничним вектором нормалі . Вектор напруги позначимо через , відзначивши, що, взагалі говорячи, по напрямку не збігається з вектором . Індекс n лише вказує орієнтацію площадки, на якій діє розглянута напруга.

 

 

 
 

 


Ми розглядаємо рівноважний стан і, отже, будь-який елемент об’єму, обраний всередині пружного тіла, знаходиться в стані рівноваги.

Виберемо елемент об’єму так, щоб він був обмежений розглянутою площадкою з нормаллю трьома площадками, рівнобіжними координатним осям.

 

 

Рис. 8. Результуючі напруги на гранях елемента об’єму.

 

Напруги , та діють на площадках, перпендикулярних координатним осям, але, у загальному випадку, спрямовані не паралельно цим координатним осям.

Запишемо першу умову статичної рівноваги для обраного тетраедра - рівність нулю головного вектора системи - у випадку, коли силами, що діють на розглянутий об’єм, є лише напруги на його поверхні:

 

 

Тут - площа трикутника , , , - відповідно площадки трикутників BOC, AOC і AOB. Оскільки зовнішні нормалі до граней BOC, AOC і AOB протилежні по напрямках ортам напруги на площадках BOC, AOC і AOB рівні .

Очевидно,

 

SBOC=SABC ;

SAOC=SABC ;

SAOB=SABC ;

Тому остаточно ми одержуємо:

 

(30)

 

Таким чином, виявляється, що досить знати напруги на трьох взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через розглянуту точку простору, щоб обчислити напругу на площадці будь-якої орієнтації, що проходить через цю точку.

Кожна з напруг і задається трьома числами, що являють собою проекції відповідного вектора на осі обраної координатної системи:

 

(31)

 

чи

 

 

Таким чином, напруга на нескінченно малій площадці будь-якої орієнтації може бути обчислена, якщо в точці, через яку проходить ця площадка, задані дев'ять величин.

 

чи (32)

 

Неважко бачити, що ці дев'ять величин являють собою компоненти деякого тензора 2-го рангу.

Зверніть увагу на те, що в (30):

 

= (чи n 1)

= (чи n 2)

= (чи n 3)

 

З врахуванням цього і співвідношень (31), (30) у проекціях на координатні осі запишеться:

 

;

;

.

 

У скороченій формі запису ці співвідношення виглядають так:

 

 

Однак, ми бачимо, що коефіцієнти, що зв'язують лінійним законом компонента двох векторів (у даному випадку, векторів , ), є компонентами тензора 2-го рангу. Виходить, 9 величин ik – компонента деякого тензора 2-го рангу.

Ми приходимо, таким чином, до висновку, що напружений стан у будь-якій точці пружно деформованого тіла задається тензором 2-го рангу з матрицею

[ ik]= (33)

Цей тензор називається тензором напруг.

Як ми вже говорили, тензор напруг відноситься до матеріального тензора.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-24; Просмотров: 398; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.036 сек.