Неперервність функції

Завдання для самостійного розв’язування.

Розв’язування.

а) .

б) .

3.5 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

є) ; ж) .

3.6 Знайти границі:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д). ; е) ;

є) . ж) .

Відповіді:

3.5 а) ; б) ; в) 1; г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) e.

3.6 а) ; б) ; в) 2; г) ; д) ; е) 8;

є) 8; ж) 1.

З поняттям границі функції тісно пов’язано і інше важливе поняття математичного аналізу – поняття неперервності функції. Інтуїтивно поняття неперервності функції пов’язано з графіком функції: функція вважається неперервною, якщо її графік можна провести лінією, не відриваючи олівця від паперу. Що ж станеться, якщо зробити в якійсь точці "прокол"? Тоді перпендикуляр, проведений з цієї точки на ось абсцис, не перетне графіка функції, що рівносильно відсутності значення функції в цій точці. Отже перший висновок: неперервна функція повинна мати значення в точці . Нехай тепер, підходячи до точки з різних сторін, ми залишаємось на "різних рівнях". І в цьому випадку, переходячи через точку ми відриваємо олівець від паперу. Раніше говорилось, що для існування границі функції в точці необхідно і достатньо, щоб існували обидві односторонні границі, рівні між собою. Таким чином, для неперервності функції необхідно, щоб в точці існувала границя. Якщо значення функції в точці не співпадатиме з її границею, то функція теж не буде неперервною. Тому зрозумілі умови, які повинні виконуватись для неперервності функції в точці.

Означення 1. Функція називається неперервною в точці , якщо виконуються наступні умови:

1. функція визначена в околі точки , тобто ;

2. функція має границю в точці , тобто ;

3. границя функції дорівнює значенню функції в точці , тобто .

Приклад 4.1 Дослідити неперервність в точці функцій:

а) ; б) ; в) .

Дата добавления: 2015-05-24