Диференційовність складної функції

Коли ми розглядали поняття диференційовності функції, то в представленні вважалося, що одночасно не можуть дорівнювати нулю. Тобто функції a_і не визначені в точці (0,...,0). Якщо доозначимо a _і в точці (0,0,...,0), поклавши a_і (0,...,0)=0, то рівність (1.1) матиме зміст і тоді, коли всі .

Нехай функції

(3.1)

визначені в області D ₁ ÌR^k, а функція U=f(x ₁ ,…,x_n) визначена в області DÌRⁿ при чому, якщо точка (t ₁ ,…,t_k)ÎD ₁, то точка (j ₁ (t ₁ ,…,t_k),…, j_n(t ₁ ,…, t_k))ÎD. Тоді ми одержимо складну функцію U=f(j ₁ (t ₁ ,…,t_k),…, j_n(t ₁ ,…, t_k)), яка визначена в області D ₁.

Теорема 3.2. Нехай всі функції (3.1.) диференційовні в А(t ₁ ⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), а функція U=f(x ₁ ,…,x_n) диференційовна в точці В(x ₁ ⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), де х_і⁽⁰⁾=j_I(t ₁ ⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), тоді складна функція U(t₁,…,t_k) –диференційовна в точці А і при цьому її часткові похідні обчислюються по формулі: , де і= 1 ,...,k.

Доведення. Для простоти викладок, проведемо доведення, коли U=f(x ₁ ,x₂), x ₁ =j ₁ (t ₁, t₂, t₃); x₂=j₂(t ₁, t₂, t₃), A=(t ₁ ⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾), B=(x ₁ ⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾).

Оскільки функції j ₁, j₂ диференційовні в точці А за умовою, то надавши t ₁ ⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾ прирости Dt₁, Dt₂, Dt₃, які одночасно всі не дорівнюють нулю, прирости функцій х₁, х₂, що відповідають цим приростам, можна записати у вигляді:

(3.2)

, (3.3),

де a_і, b_і®0, а значить d і e ® 0, коли D t_k®0. Оскільки х ₁ ⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, одержали прирости Dх_1, Dх₂, які обчислюються за допомогою формул (3.2), (3.3), то в силу того, що U=f(x_1, x₂) в точці В диференційовна, її приріст в цій точці можна записати у вигляді:

(3.4),

тут g_1, g₂®0, коли (Dх₁,Dх₂)®(0,0) (при цьому можуть Dх₁=Dх₂=0).

Підставивши (3.2) і (3.3) в (3.4), одержимо:

Замінивши множники біля Dt ₁, Dt₂, Dt₃, в останніх трьох доданках, відповідно на d ₁, d₂, d₃, отримаємо:

Якщо Dt ₁, Dt₂, Dt₃®0, то a₁, a₂, a₃®0, b ₁, b₂, b₃®0, і Dх ₁, Dх₂®0, а значить g ₁ ®0, g₂®0. Тому d ₁, d₂, d₃®0. Звідси робимо висновок, що функція U(t ₁, t₂, t₃) – диференційовна в точці , і при цьому , де і= 1, 2, 3.

Дата добавления: 2015-05-24