Частинні похідні вищих порядків

Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків

Нехай функція U=f(x ₁ ,…,x_n) визначена в області D і в кожній точці існує частинна похідна по змінній х_і. Тоді ця частинна похідна є функцією змінних х ₁ ,...,х_п,яка визначена в цій області. Може трапитись, що ця функція в точці має частинну похідну по змінній х_к. Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною другого порядку або другою частинною похідною функції U=f(x₁,…,x_n) в точці М₀ спочатку по змінній х_i, а потім по змінній х_к і позначають так: . При цьому, якщо і¹k, то частинну похідну називають змішаною частинною похідною.

Аналогічно вводяться частинні похідні третього, четвертого і т. д. порядків.

Нехай в області D існує частинна похідна (m= 1) порядку по змінних і ця частинна похідна в точці М₀(х ₁ ⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) має частинну похідну по змінній . Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною m-го порядку або m-тою частинною похідною функціїU=f(x ₁ ,…,x_n) в точці М₀ по змінних . Співвідношення, яке визначає цю частинну похідну записують так: .

Якщо не всі індекси і ₁, і₂,...,і_т співпадають між собою, то частинна похідна називається змішаною.

Розглянемо приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Отримаємо ; ; ; ; ; .

Дата добавления: 2015-05-24