Частный случай постоянных или убывающих предельных затрат

Рассмотрим отдельно на каждом этапе затраты на хранение и затраты на закупку продукции. В общем случае на каждом этапе затраты на хранение каждой новой единицы продукции и затраты на закупку каждой новой единицы продукции зависят от объема закупаемой продукции на этом этапе. Так, в предыдущем примере затраты на закупку одной единицы продукции были равны 10 д.ед. при y _i ≤3, а в противном случае каждая новая единица стоила 20 д. ед. (т.е. являлись возрастающей функцией). Затраты за хранение одной единицы продукции на этапе в этом примере были постоянными.

В рассматриваемом частном случае будем предполагать, что на каждом этапе в отдельности затраты на закупку и на хранение каждой новой единицы продукции являются либо постоянными, либо убывающими функциями от объема закупаемой партии на этапе. При этом эти величины могут меняться от этапа к этапу различным образом. Будем также предполагать, что начальный запас x ₁ = 0. Последнее ограничение не является существенным, так как, уменьшив спрос на первом этапе на величину начального запаса, можно всегда считать это условие выполненным. При сделанных предположениях будут справедливы следующие два свойства [1, c.463].

1. На всех этапах выполняется равенство

.

2. Размер оптимального заказа может принимать только одно из следующих значений:

0, b _i, b _i + b _i+1, …, b _i + …+ b _n.

Отметим, что эти свойства позволяют существенно сократить объем вычислений. Приведем пример. Расчеты проводятся аналогично предыдущему случаю за исключением множеств возможных значений x _i, и y _i.

Пример. Рассмотрим 4–этапную систему управления запасами. Пусть начальный запас равен 2 единицам продукции. Стоимость закупки единицы продукции составляет 4 д. ед. для всех этапов, а стоимость хранения единицы продукции, переходящей с этапа i на этап i + 1, составляет одну денежную единицу для всех этапов. Величины спроса на этапах и стоимость оформления заказов имеют следующие значения: (3; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).

Чтобы свести задачу к частному случаю, необходимо из спроса на первом этапе вычесть начальный запас. Соответствующие значения спроса и стоимости оформления заказа по этапам будут иметь вид:

(1; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).

Этап 1. В соответствии со свойством 2 величина x ₂ может принимать следующие значения:

0, b ₂ =3, b ₂ + b ₃ = 3 + 4 = 7, b ₂ + b ₃ + b ₄ = 3 + 4 + 3 = 10.

x 2	h 1 x 2	y 1	C 1(y 1)	f 1(x 2)

Этап 2. Возможные значения величины x ₃:

0, b ₃ = 4, b ₃ + b ₄ = 4 + 3 = 7,. x ₃Î{0; 4; 7}.

Величина y ₂ может принимать значения, совпадающие с возможными значениями x ₂ y ₂Î{0; 3; 5; 6}. Значения функций , f ₂(x ₃) и соответствующие приведены в следующей таблице

x 3	h 2 x 3	y 2=0	y 2=3	y 2=7	y 2=10	f 2(x 3)
C 2=0	C 2=14	C 2=30	C 2=42
				¾	¾
			¾		¾

Покажем нахождение значений функции (33) для двух случаев x ₃ =4 и x ₃=7. Рассмотрим сначала случай x ₃ = 4:

= C ₂(0) + 1´4 + f ₁(4-0+3) = 0 + 4 + 42 = 46;

= C ₂(3) + 1´4 + f ₁(4-3+3).

Так как данного значения x ₂ = 4-3+3=4 нет в первой таблице, в соответствующей клетке для функции стоит прочерк.

= C ₂(7) + 1´4 + f ₁(4-7+3) = 30 + 1´4 + 7 = 41.

Для значения y ₂ = 10 получается отрицательное значение x ₂, что недопустимо по условиям задачи (дефицит не допускается). Поэтому в соответствующей клетке стоит прочерк. Теперь случай x ₃ = 7.

= C ₂(0) + 1´7 + f ₁(7-0+3) = 0 + 7 + 57;

= C ₂(3) + 1´7 + f ₁(7-3+3) = 14 + 7 + 42 = 63;

= C ₂(7) + 1´7 + f ₁(7-7+3) = 30 + 7 + 22 = 59;

= C ₂(10) + 1´7 + f ₁(7-10+3) = 42 + 7 + 7 = 56.

Этап 3. Возможны только два значения величины x ₄

0, b ₄ = 3.

x 4	h 3 x 4	y 3=0	y 3=4	y 3=7	f 3(x 4)
C 3=0	C 3=17	C 3=29
				¾
			¾

Этап 4. Величина x ₅ принимает единственное значение x ₅=0.

x 5	h 4 x 5	y 4=0	y 4=3	f 4(x 5)
C 4=0	C 4=16

Итак, минимальные суммарные затраты равны 53. Теперь нужно найти величины . Будем находить их, двигаясь по таблицам в обратном направлении. Из последней таблицы =0. Тогда из соотношения (32) при i= 4 получим =3. Из таблицы третьего этапа в строке с этим значением находим =7. Снова из соотношения (32) при i= 3 получим =0. В таблице второго этапа в соответствующей строке находим =3. Опять из (32) при i= 2 получим =0. Далее, из таблицы первого этапа =1. Таким образом, на первом этапе нужно заказывать одну единицу продукции, на втором - три, на третьем - семь, а на четвертом заказывать не надо. При этом суммарные затраты составят 53 д. ед.

Дата добавления: 2015-05-08