КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнение неразрывности. Основные уравнения гидроаэромеханики основываются на законах сохранения массы, количества движения и энергии
Основные уравнения гидроаэромеханики основываются на законах сохранения массы, количества движения и энергии, которые вместе обычно кратко именуются законами сохранения. Особенность заключается в том, что в механике жидкости эти законы необходимо записать в форме, пригодной для изучения движения сплошной деформируемой среды. Уравнением неразрывности называют закон сохранения массы. Рассмотрим в потоке жидкости некоторую произвольную фиксированную замкнутую поверхность s, ограничивающую объем ν. Выделим на поверхности элемент площади d s и построим единичный вектор n, направленный наружу по нормали к поверхности (рис. 2.1). Поток жидкости пронизывает замкнутую поверхность, причем через выделенный элемент поверхности за единицу времени протекает масса жидкости, равная pu,ds, где ип — нормальная к поверхности составляющая скорости жидкости; ρ - плотность жидкости. Проекцию скорости на нормаль можно заменить через скалярное произведение вектора скорости и на единичную нормаль n: pnuds. В индексной записи [см. формулу (1.7) ] это выражение примет вид ρηiuids. Интегрируя по поверхности, получим массу, вытекающую за единицу времени из фиксированного объема: (2.1) Пусть в общем случае в жидкости распределены источники массы, которые подают на единицу объема в единицу времени массу т. Тогда внутрь фиксированного объема за единицу времени поступает масса, равная (2.2) Знак минус учитывает, что в выражении (2.1) было принято, что вытекшая масса берется со знаком плюс. Масса жидкости, заключенная внутри выделенного объема, за единицу времени изменится, как следует из выражений (2.1) и (2.2), на величину (2.3) Масса в фиксированном объеме может изменяться только в том случае, если изменяется во времени плотность жидкости. Скорость изменения массы, заключенной в объеме, можно представить следующим образом: (2.4) Здесь переход к дифференцированию под знаком интеграла возможен, так как объем постоянен. Из выражений (2.3) и (2.4) можно записать закон сохранения массы в интегральной форме (2.5) Для того чтобы получить это уравнение в дифференциальной форме, воспользуемся формулой Гаусса – Остроградского, которая позволяет преобразовать интеграл по поверхности в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью: (2.6) Здесь величина bi имеет один индекс, т. е. является вектором. Аналогичная формула справедлива, если b является скаляром (т. е. не имеет индексов) или тензором (имеет два индекса) (2.7) Положив в формуле (2.6) bi – равным rui, заменим в выражении (2.5) интеграл по поверхности интегралом по объему и получим
Полученное уравнение справедливо для произвольного объема, но тогда интеграл может быть равен нулю, только если равно нулю подынтегральное выражение. Отсюда следует уравнение неразрывности в дифференциальной форме (2.8) Запишем это уравнение для отдельных частных случаев. Если источников массы нет, тогда (2.9) Если рассматриваем стационарное движение сжимаемой жидкости, (2.10) то dr/dt = 0 и, следовательно, Если жидкость несжимаема, то уравнение неразрывности принимает (2.11) наиболее простую форму
Дата добавления: 2015-05-09; Просмотров: 618; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |