Использование окон в спектральном анализе 1 страница

Один из важных вопросов, который является общим для всех классических методов спектрального оценивания, связан с применением функции окна. Обработка с помощью окна (windowing) используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Заметим, что термин "взвешивание" (weighting) используется как синоним термина "обработка с помощью окна". Это контрастирует с практикой тех специалистов, которые употребляют термин "окно" только применительно к преобразованиям, связанным с применением весовой функции во временной области. Введение функции окна позволяет управлять формой частотных характеристик фильтров анализатора как в полосе пропускания, так и, что особенно важно, в полосе подавления. Функция W(f) является частотным окном в том случае, когда она получена в результате дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ) окна данных w(n). Окна данных называются также обуживающими функциями (tapering functions), т. е. плавно спадающими к краям. Функция W(f) обозначает спектральное окно в том случае, когда она является ДВПФ корреляционного окна w(m), применяемого к дискретно-временной автокорреляционной последовательности. Основное назначение окна данных - уменьшить величину смещения в периодограммных спектральных оценках. Основное назначение корреляционного окна - уменьшить дисперсию коррелограммной оценки СПМ.

4.1. Прямоугольное окно и БПФ

Заметим, что имеющуюся конечную запись данных или имеющуюся конечную корреляционную последовательность удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Например, последовательность наблюдаемых данных x0(n) из N отсчетов математически можно записать как произведение прямоугольной функции единичной амплитуды

и бесконечной последовательности x(n):

При этом принимается очевидное допущение о том, что все ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от того, так это на самом деле или нет. Дискретно-временное преобразование Фурье взвешенной окном последовательности, выраженное через преобразования последовательности x(n) и прямоугольного окна rect(n), равно свертке этих преобразований

, где

Функция DN(f), называемая дискретной функцией sinc, или ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной функции. Преобразование наблюдаемой конечной последовательности является искаженной версией преобразования бесконечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на дискретно-временную косинусоиду с частотй f0иллюстрирует рис. 4.1. Здесь: а - исходная дискретно-временная косинусоидальная последовательность; б - модуль периодической ДВПФ косинусоидальной последовательности; в - взвешенная косинусоидальная последовательность; г - модуль ДВПФ взвешенной последовательности. Из рис. 4.1 видно, что острые спектральные пики ДВПФ бесконечной косинусоидальной последовательности расширились за счет воздействия копий преобразования окна. Таким образом, минимальная ширина спектральных

Рис. 4.1

пиков взвешенной окном последовательности ограничена шириной, определяемой главным лепестком преобразования этого окна, и не зависит от исходных данных. Боковые лепестки преобразования окна, иногда называемые просачиванием, будут изменять амплитуды соседних спектральных пиков. Поскольку ДВПФ - периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних спектральных периодов может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.

Просачивание приводит не только к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также маскировать присутствие слабых сигналов и, следовательно, препятствовать их обнаружению. Рассмотрим ДВПФ 16 отсчетов сигнала, состоящего из двух синусоид (рис. 4.2, в. Мощность более слабой синусоиды (рис. 4.2, б) в этом сигнале примерно на 17 дБ меньше мощности более сильной синусоиды (рис. 4.2, а). В этом экстремальном случае боковые лепестки более сильной синусоиды почти

полностью подавляют главный лепесток более слабой синусоиды.

Рис. 4.2

4.2. Наиболее распространенные функции окна и их характеристики

Можно предложить ряд других функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем их уровнем, который они имеют в случае прямоугольного окна. Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение. Однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно, должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем подавления боковых лепестков. Для классификации функций окна используется несколько показателей оценки их качества. Ширина полосы частот главного лепестка позволяет судить о частотном разрешении. Для количественной оценки ширины полосы главного лепестка используются два показателя. Традиционным показателем является ширина полосы на уровне половинноймощности, т. е. на уровне, который на 3 дБ ниже максимума главного лепестка.

Второй показатель - эквивалентная ширина полосы B e дискретно-временного преобразования Фурье X(f) сигнала x(n) - определяется как

Два показателя используются и для оценки характеристик боковых лепестков. Один из них - это пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков, который позволяет судить о том, насколько хорошо окно подавляет просачивание. Второй - это скорость спадания уровня боковых лепестков, который характеризует скорость, с которой снижается уровень боковых лепестков, ближайших к главному лепестку. По сути дела, скорость спадания уровня боковых лепестков зависит от числа используемых отсчетов N и с увеличением N стремится к некоторой асимптотической величине, которую принято выражать в децибеллах на октаву изменения ширины полосы частот.

В табл. 4.1 даны определения некоторых наиболее употребительных дискретно-временных функций окна из числа предложенных в разное время для использования при спектральном оценивании. На рис. 4.3 - 4.8 показаны типичные 51-точечные окна и их частотные характеристики, полученные посредством вычисления модуля ДВПФ каждого окна.

В табл. 4.1 определены N-точечные симметричные окна с двумя различными начальными точками отсчета. Для окон данных начальной точкой отсчета является n=0. Для корреляционных окон этой точкой является значение -(N-1)/2. В качестве корреляционных окон используются только окна нечетной длины, поскольку точка симметрии таких окон приходится на средний элемент окна. В случае корреляционного окна значение этого среднего (или центрального) элемента всегда равно единице.

Таблица 4.1

Название окна	Дискретно-временная функция или	Частотная характеристика или
Прямоугольное (равномерное)
Треугольное (окно Барлетта)
Косинус-квадрат (окно Ханна)
Приподнятый косинус (окно Хэмминга)
Взвешенные косинусы (окно Наттола, R=3)
Усеченное гауссовское ( =2,5)

У окон четной длины точка симметрии находится в центре окна, точно посередине между двумя элементами. В литературе часто используются и несколько отличные определения функций окна. Например, некоторые авторы предпочитают опускать концевые точки окна с нулевыми значениями. Для операций с дискретно-временными рядами Фурье, не требующих дополнения нулевыми отсчетами (нулями), точка, соответствующая наибольшему временному индексу, обычно опускается, с тем, чтобы обеспечить корректность периодического продолжения окна. Характеристики окон, описанных в табл. 4.1, приведены в табл. 4.2. Величины, приведенные в колонке "эквивалентная ширина полосы", нормированы относительно частотного разрешения ДВПФ, равного 1/NT герц.

Из всех приведенных в табл. 4.2 окон самый узкий главный лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна, но зато у него и самый высокий уровень боковых лепестков. Автокорреляционной функцией прямоугольного окна является треугольное окно, ширина которого равна ______________________

* T - интервал отсчетов.

* Окно данных w(n) определено в диапазоне индексов времени 0£n£N-1, где N может быть четным или нечетным.

* Корреляционное окно w(m) определено в диапазоне индексов временного сдвига -(N-1)/2£m£(N-1)/2, где N всегда нечетно.

* Функция t(n)=(n-[N-1]/2)/[N-1] для w(n) и t(m)=m/N для w(m).

* Функция DN(f)=T sinc(fNT) для w(n) и DN(f)=Texp(j2pfT)sinc(fNT) для w(m).

удвоенной ширине прямоугольного окна. Треугольное окно впервые было описано Бартлеттом в связи с проводимым им анализом периодограммных спектральных оценок, и поэтому часто называется его именем. Окно типа "косинус квадрат" названо в честь австрийского метеоролога Юлиуса фон Ханна. Это окно часто ошибочно называют окном Хэннинга. Оно примечательно тем, что его легко реализовать в частотной области всего лишь с помощью трех операций сложения и двух операций сдвига, что, по сути дела, сводится к умножению на коэффициенты 1/2 и 1/4 на каждой частоте. Окно типа приподнятой косинусоиды было введено Р. У. Хэммингом и часто

Таблица 4.2. Характеристики окон, приведенных в табл. 4.1

Окно	Максимальный уровень боковых лепестков, дБ	Асимптотическая скорость спадания боковых лепестков, дБ/октава	Эквивалентная ширина полосы	Ширина полосы по уровню половинной мощности
Прямоугольное	-13,3	-6	1,00	0,89
Треугольное	-26,5	-12	1,33	1,28
Окно Ханна	-31,5	-18	1,50	1,44
Окно Хэмминга	-43	-6	1,36	1,30
Окно Наттола (r=3)	-98	-6	1,80	1,70
Гауссовское	-42	-6	1,39	1,33
Равноволновое	-50		1,39	1,33

называется его именем. Множители 0.54 и 0.46 были выбраны для того, чтобы практически полностью устранить максимальный боковой лепесток функции DN(f). Этот подход можно обобщить на все семейство взвешивающих косинусных окон. Веса косинусов могут быть оптимизированы относительно ряда условий, включая требование минимального уровня боковых лепестков, максимальной скорости их спадания и максимальной гладкости (наибольшее число производных без нарушения непрерывности). Например, окно Наттола, показанное на рис. 4.7, является четырехчленным косинусным окном, которое при а0=0.3635819, a1=0.4891775, a2=0.1365995 и a3=0.0106411 имеет минимальный уровень боковых лепестков, равный -98 дБ. Гауссовское окно имеет наименьшую величину произведения длительности на ширину полосы из всех приведенных функций окна, хотя это не справедливо в случае усеченного гауссовского окна, т. е. когда оно имеет конечную ширину. В гауссовском окне, показанном на рис. 4.8, использован параметр a=2.5. У чебышевского (или равноволнового) окна все боковые лепестки имеют один уровень. Это окно впервые было использовано в теории антенных решеток и обладает тем свойством, что из всех N-точечных дискретных окон с уровнем боковых лепестков, равным или не превосходящим некоторый заданный уровень, имеет самый узкий главный лепесток.

Стратегия выбора окон диктуется компромиссом между смещением из-за помех в области близких боковых лепестков и смещением из-за помех в области дальних боковых лепестков. Например, если достаточно сильные компоненты сигнала расположены вблизи и на отдалении от слабой компоненты сигнала, то следует выбрать окно с одинаковым уровнем боковых лепестков около главного лепестка, с тем, чтобы обеспечить малое смещение (рис. 4.9, а). Если же имеется одна сильная компонента, удаленная от слабой компоненты сигнала, как показано на рис. 4.9, б, то следует выбирать окно с быстро спадающим уровнем боковых лепестков, причем их уровень в непосредственной близости к главному лепестку в данном случае не имеет значения. В том случае, когда необходимо обеспечить высокое разрешение между очень близкими компонентами сигнала и удаленные компоненты

Рис. 4.9

отсутствуют, вполне приемлемым может оказаться окно даже с увеличивающимся уровнем боковых лепестков, но зато с очень узким главным лепестком, что иллюстрирует рис. 4.9, в. Если динамический диапазон сигнала ограничен, то характеристики боковых лепестков не имеют особого значения, и поэтому можно выбрать окно, которое проще для численной реализации. Если спектр сигнала относительно гладок, то можно вообще не применять окна, т. е. использовать прямоугольное окно. Существуют окна, которые могут сами в некотором смысле регулироваться, или "адаптироваться", к параметрам данных.

Рис. 4.3. Прямоугольное окно (a) и его частотная характеристика (б)

Рис. 4.4. Треугольное окно (a) и его частотная характеристика (б)

Рис. 4.5. Окно Ханна (a) и его частотная характеристика (б)

Рис. 4.6. Окно Хэмминга (a) и его частотная характеристика (б)

Рис. 4.7. Окно Наттола (a) и его частотная характеристика (б)

Рис. 4.8. Гауссовское окно (a) и его частотная характеристика (б)

5. Классические методы спектрального оценивания

Существуют два формальных, но эквивалентных типа методов определения спектральной плотности мощности (СПМ). Прямые методы основаны на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения и исторически получили название периодограммных методов. Косвенные методы основаны на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности (АКП), преобразование Фурье которой дает искомую оценку СПМ. Они называются коррелограммными методами спектральной оценки. Эти методы основаны на связи АКП и СПМ дискретным преобразованием Винера-Хинчина.

Оба типа методов применяются сравнительно давно и поэтому получили название классических методов спектрального оценивания. Все эти методы обычно используются применительно к дискретно-временным последовательностям отсчетов данных.

Мы говорим об оценке СПМ, так как на практике в спектральном анализе используют конечные последовательности данных вместо бесконечных, что обусловливает невозможность получения точного спектра. Оценка характеризуется следующими параметрами.

Смещением оценки параметра a называется разность между истинным значением этого параметра и математическим ожиданием этой оценки:

Несмещенной оценкой называется такая, для которой .

Дисперсией оценки называется средний квадрат отклонения оценки от ее среднего значения

Говорят, что оценка состоятельна, если с увеличением числа наблюдений смещение и дисперсия стремятся к нулю.

Классические методы спектрального оценивания относятся к числу наиболее устойчивых (робастных) методов спектрального оценивания. Они применимы почти ко всем классам стационарных сигналов и шумов, тогда как методы высокого разрешения (основанные на линейном моделировании) оказываются рабастными только в случае ограниченного класса стационарных сигналов.

В классических методах, как правило, используются алгоритмы БПФ, поэтому они оказываются наиболее вычислительно эффективными. В получаемых с их помощью оценках СПМ (в отличие от методов высокого разрешения) высота спектральных пиков линейно зависит от мощности синусоид, присутствующих в данных.

Основной недостаток классических методов спектрального оценивания обусловлен искажающим воздействием просачивания по боковым лепесткам из-за использования конечных последовательностей данных. Взвешивание позволяет ослабить влияние боковых лепестков, но лишь за счет ухудшения спектрального разрешения.

Разрешение, обеспечиваемое классическими методами, не может превышать величины, обратной длине записи данных, и не зависит от характеристик анализируемых данных. Для улучшения статистической устойчивости спектральных оценок может быть использовано псевдоусреднение по ансамблю за счет сегментации данных, но это также ухудшает спектральное разрешение. Обработка конечных записей данных требует принятия компромиссов относительно разрешения, устойчивости (минимизации дисперсии оценки) и подавления просачивания.

И периодограммные, и коррелограммные методы дают оценки, которые обладают аналогичными статистическими характеристиками и в целом выглядят примерно одинаково, если не считать небольших визуальных различий в тонких деталях формы спектров. На практике предпочтение отдается наиболее эффективным в вычислительном отношении методам. До широкого распространеня ЭВМ в основном применялся корреляционный метод. С появлением алгоритмов БПФ и спецпроцессоров ЦОС предпочтение было отдано периодограммным методам.

5.1. Периодограммные методы спектрального анализа

Термин "периодограмма" впервые был использован в работах А. Шустера в 1897 г. Идея предложенного им метода заключалась в ус­реднении спектральной оценки, полученной для конечной реализации данных, по нескольким оценкам для различных реализаций (периодограмм). Метод получил развитие, и в настоящее время имеется ряд его модификаций.

Одним из формальных определений СПМ, основанных на допущении об эргодичности, является следующая дискретно-временная форма:

Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания e{ } и полагая, что конечное множество данных {x(0),..., x(N-1)} содержит N отсчетов, получим выборочный спектр

который может быть вычислен по конечной последовательности данных. Это - исходная немодифицированная форма периодограммной оценки СПМ. Выборочный спектр будет давать статистически несостоятельные (т. е. неустойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция вычисления математического ожидания, предусмотренная выраже­нием (5.1). Поэтому для сглаживания периодограммной оценки необхо­димо применять что-то вроде псевдоусреднения по ансамблю. Предло­жены три основных типа методов сглаживания. В методе Даньелла (1946 г.) периодограмма сглаживается путем усреднения по соседним ячей­кам частотного разрешения. В методе Бартлетта (1948 г.) произво­дится усреднение по множеству периодограмм, полученных по непере­крывающимся сегментам исходной последовательности данных. В методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся сегментам и вводится окно данных для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.

Классификация перечисленных методов оценки СПМ отражена на рис. 5.1.

Рис. 5.1

В литературе описано также много других оптимальных методов сглаживания периодограмм, однако, все они оптимальны только приме­нительно к некоторым ограниченным классам сигналов. Три перечис­ленных метода, которые мы рассмотрим, возможно, не всегда опти­мальны, но практика доказала их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.

5.1.1. Периодограмма Даньелла

Даньелл предположил, что для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра можно использовать усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра P(f) на сетке частот fk=k/NT, 0£k£N-1, используется алгоритм БПФ, то модифицированная оценка периодограммы на частоте fiможет быть получена посредством усреднения в P точках значений P(f) с каждой стороны от этой частоты:

Обобщением этого подхода является обработка выборочного спек­тра с помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой H(f). Периодограмму Даньелла можно в этом случае записать в виде свертки выборочного спектра и частотной характеристики фильтра нижних частот

Подстрочечный индекс D в этих выражениях использован для того, чтобы отличить периодограммную оценку Даньелла от других оценок СПМ.

5.1.2. Периодограмма Бартлетта

Сглаживание выборочного спектра по методу Бартлетта основано на создании псевдоансамбля периодограмм за счет деления последова­тельности из N отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DP£N. Тогда p-й сегмент будет состо­ять из отсчетов

x(p)(n)=x(pD+n),

где 0£n£D-1, а надстрочечный индекс (p) обозначает номер сег­мента. По каждому сегменту 0£p£P-1 независимо, в диапазоне -1/2T£f£1/2T вычисляется выборочный спектр

для чего может быть использован алгоритм БПФ на некоторой сетке частот. Затем на каждой частоте, представляющей интерес, P отдель­ных немодифицированных периодограмм усредняются, с тем, чтобы по­лучить усредненную периодограмму Бартлетта PB(f)

Смещение среднего значения этой периодограммы определяется выражением

Таким образом, смещение оценки PB(f) обусловлено воздействием окна, которое смещает и выборочный спектр периодограммы каждого отдельного сегмента. Если периодограммы P сегментов статистически независимы (что приближенно выполняется в том случае, когда значе­ния автокорреляции

r(m)=e{x(n+m)x*(n)}

малы при m>D, то PB(f) можно рассматривать как выборочное среднее значение некоторой совокупности из P независимых наблюдений выбо­рочного спектра P(f). Можно показать, что величина дисперсии усредненной периодограммы Бартлетта обратно пропорцио­нальна числу используемых сегментов, т. е.

Следовательно, приближенно можно считать, что устойчивость этой спектральной оценки улучшается как величина, обратная числу сегментов P. Уменьшение дисперсии с увеличением P будет меньше в том случае, когда периодограммы сегментов оказываются статисти­чески зависимыми. Что же касается разрешения, то оно в результате разбиения последовательности данных на сегменты по D отсчетов в каждом, где D<N, будет, естественно, уменьшаться, поскольку ре­зультирующее эффективное спектральное окно в этом случае имеет бо­лее широкий главный лепесток. При фиксированном значении N=PD со­блюдается обычное компромиссное соотношение между высоким спек­тральным разрешением (при максимально возможном значении D) и ми­нимальной дисперсией оценки (при максимально возможном значении P).

5.1.3. Периодограмма Уэлча

Уэлч модифицировал основную схему метода сегментирования и усреднения Бартлетта за счет применения окна данных и использова­ния частично перекрывающихся сегментов. Перед вычислением перио­дограммы каждого сегмента этот сегмент обрабатывается с помощью окна данных. Цель применения окна - за счет незначительного ухуд­шения разрешения ослабить эффекты, возникающие из-за боковых лепе­стков и уменьшить смещение оценок. Цель перекрытия сегментов - уве­личить число усредняемых сегментов при заданной длине записи дан­ных и тем самым уменьшить дисперсию оценки СПМ. На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру [1, c. 211] для реализации своего метода усреднения периодограмм взвешенных и перекрывающихся сегментов данных. Именно это сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания в наши дни.

Если запись комплексных данных {x(0),..., x(N-1)} из N отсчетов разбита на P сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом S отсче­тов между соседними сегментами (S£D), то максимальное число сег­ментов P будет определяться целой частью числа (N-D)/S+1. В частном случае, когда N - степень двух, число сегментов P=(N/S)-1. Взве­шенный окном w(n) p-й сегмент

x(p)(n)=w(n)x(n+pS)

будет состоять из D отсчетов (0£n£D-1), а номер сегмента p ле­жит в интервале 0£p£P-1.

Выборочный спектр взвешенного p-го сегмента в диапазоне ча­стот -1/2T£f£1/2T определяется выражением:

где

– дискретно-временное преобразование p-го сегмента, а

– энергия дискретно-временного окна. Среднее значение периодог­раммы взвешенных сегментов дает оценку периодограммы Уэлча PW(f):

Дата добавления: 2015-05-09