Дифференцирование сложной функции

ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Если функция y = f(x) обратима на интервале (а; b) и имеет отличную от нуля производную в некоторой точке х Î (а; b), то производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

или

;

или

где индексы х и у показывают, по какой переменной производится дифференцирование, т.е. какая из переменных принята за независимую.

КРАТКО:

Производные от взаимообратных функций обратны по величине.

Если y есть функция от u: y = f(u), где u в свою очередь есть функция от аргумента х: u = j(x), то у называется сложной функцией от х: y = f [j(x)].
y = f [j(x)]	- формула сложной функции
х	-	независимая переменная (аргумент)
u = j(x)	-	промежуточная («внутренняя») функция
y = f(x)	-	сложная функция («внешняя»)
КРАТКО:	y = f [j(x)]	Þ	y = f(u), где u = j(x)

НАПРИМЕР: Разложить сложную функцию на составляющие функции

1)			у = sin u, где u = x^2 - x
2)			у = u^3, где u = 4х - 1
3)			, где u = 1 + x^2
4)			y = 2^u, где u = 3х - 1
5)			y = arctg u, где u = х^2
6)			у = u^4, где u = ln sin x
			u = ln t, где t = sin x u, t – промежуточные, «внутренние» функции
Производная сложной функции Для того, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f [j(x)], нужно взять производную «внешней» функции f, рассматривая ее аргумент j(х) = u просто как переменную, по которой совершается дифференцирование, и умножить на производную от «внутренней» функции j(х) по независимой переменной.
		или
ПРАВИЛО	Производная сложной функции равна производной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Алгоритм дифференцирования сложной функции
	Разложить сложную функцию на составляющие и ввести новую переменную	у = u^4, где u = x^2 – 4x
	Записать сложную функцию через новую переменную	у = u^4
	Найти производную от новой (промежуточной) перемен-ной, а т.к. функция сложная, то умножить еще на производную промежу-точной «внутренней» переменной
	Ввести обратную замену (заменить промежуточную переменную) и найти производную промежу-точной («внутренней») переменной
	Найти значение производной в точке х = х0, если она указана	Ответ: y’(-1) = 3000

Дата добавления: 2015-05-10