Экстремум функции

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Точка х0 называется точкой максимума функции y = f(x), если значение функции f(x) в точке х0 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, т.е выполняется неравенство:

f(x0) ³ f(x) при х0 = хmax

Точка х0 называется точкой минимума функции y = f(x), если значение функции f(x) в точке х0 меньше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, т.е выполняется неравенство:

f(x0) £ f(x) при х0 = хmax

Х0 – точка максимума, если f(x0) ³ f(x) для всех х из окрестности х0

Х0 – точка минимума, если f(x0) £ f(x) для всех х из окрестности х0

Точки экстремума –

это точки минимума и максимума (абсциссы точек)

Максимум функции –

это значение (у) функции y = f(x) в точке максимум. ymax = y(xmax)

Минимум функции –

это значение (у) функции y = f(x) в точке минимум. ymin = y(xmin)

Экстремум функции–

это минимум и максимум функции (ординаты точек)

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f’(x) обращается в нуль или терпит разрыв

Достаточный признак экстремума Если при переходе через критическую точку х0 производная f’(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум: МИНИМУМ в том случае, когда первая производная меняет знак с минуса на плюс, и МАКСИМУМ – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку х0 производная f’(x) не меняет знак, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума.

КРАТКО:

если через х0 – критическую точку f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то х0 = хmax с «-» на «+», то х0 = хmin

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

№

Этапы

Краткая запись

Определить область определения функции

D(f)

Найти первую производную

f’(x)

Найти критические точки функции y = f(x), т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует

f’(x) = 0 Þ х1, х2, х3 – критические точки

Нанести критические точки на область определения функции (ось ОХ)

Определить знак первой производной в промежутках (для этого взять любое число внутри промежутка и подставить в уравнение первой производной)

если f ’(x) > 0 Þ f(x) Ú f ’(x) < 0 Þ f(x) Ø на рассматриваемом промежутке

Из критических точек определить точки экстремума функции

если через х0 - критическую точку f’(x) меняет знак с «+» на «-», то х0 = хmax с «-» на «+», то х0 = хmin

Найти значение функции в точках экстремума. Для этого подставить точки минимума и максимума в первоначальную функцию, т.е y = f(x)

х1 – точка max Þ fmax = f(x1)   х3 – точка min Þ fmin = f(x3)

Записать результат исследования функции, т.е. ответ

Ответ: fmax = f(x1) = A; fmin = f(x3) = B, где А, В = const

Дата добавления: 2015-05-10