| ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
| |
| Точка х0 называется точкой максимума функции y = f(x), если значение функции f(x) в точке х0 больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, т.е выполняется неравенство:
| |
|
| f(x0) ³ f(x) при х0 = хmax
| |
| Точка х0 называется точкой минимума функции y = f(x), если значение функции f(x) в точке х0 меньше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х0, т.е выполняется неравенство:
| |
|
| f(x0) £ f(x) при х0 = хmax
| |
| 
| |
| | Х0 – точка максимума, если f(x0) ³ f(x)
для всех х из окрестности х0
|
| Х0 – точка минимума,
если f(x0) £ f(x)
для всех х из окрестности х0
| |
|
| Точки экстремума –
| это точки минимума и максимума
(абсциссы точек)
| |
|
| Максимум функции –
| это значение (у) функции y = f(x) в точке максимум. ymax = y(xmax)
| |
|
| Минимум функции –
| это значение (у) функции y = f(x) в точке минимум. ymin = y(xmin)
| |
|
| Экстремум функции–
| это минимум и максимум функции (ординаты точек)
| |
|
| Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f’(x) обращается в нуль или терпит разрыв
| |
| Достаточный признак экстремума
Если при переходе через критическую точку х0 производная f’(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум: МИНИМУМ в том случае, когда первая производная меняет знак с минуса на плюс, и МАКСИМУМ – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку х0 производная f’(x) не меняет знак, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума.
| |
| | КРАТКО:
| если через х0 – критическую точку f ’(x) меняет знак с «+» на «-», то х0 = хmax
с «-» на «+», то х0 = хmin
| |
| ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
|
| №
| Этапы
| Краткая запись
|
|
| Определить область определения функции
| D(f)
|
|
| Найти первую производную
| f’(x)
|
|
| Найти критические точки функции y = f(x), т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует
| f’(x) = 0 Þ
х1, х2, х3 – критические точки
|
|
| Нанести критические точки на область определения функции (ось ОХ)
| 
|
|
| Определить знак первой производной в промежутках (для этого взять любое число внутри промежутка и подставить в уравнение первой производной)
| если f ’(x) > 0 Þ f(x) Ú
f ’(x) < 0 Þ f(x) Ø
на рассматриваемом промежутке
|
|
| Из критических точек определить точки экстремума функции
| если через х0 - критическую точку f’(x) меняет знак
с «+» на «-», то х0 = хmax
с «-» на «+», то х0 = хmin
|
|
| Найти значение функции в точках экстремума. Для этого подставить точки минимума и максимума в первоначальную функцию, т.е y = f(x)
| х1 – точка max Þ fmax = f(x1)
х3 – точка min Þ fmin = f(x3)
|
|
| Записать результат исследования функции, т.е. ответ
| Ответ: fmax = f(x1) = A;
fmin = f(x3) = B,
где А, В = const
|
| | | | | | | | | | | | | | | |
