Точки перегиба

ПРОМЕЖУТКИ ВЫПУКЛОСТИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Кривая y = f(x) называется выпуклой вниз в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Кривая y = f(x) называется выпуклой вверх в некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.
Промежутками выпуклости графика функции называются промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз.
Достаточный признак выпуклости функции Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f ”(x) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f “(x) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
	КРАТКО:	если f “(x) > 0, то f(x) - È если f “(x) < 0, то f(x) - Ç

Точкой перегиба называется точка графика функции y = f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика. Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f ”(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку х0 вторая производная f ”(x) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х0; f(x0))
	КРАТКО:	если через х0 – критическую точку f ”(x) меняет знак, то (х0; f(x0)) – точка перегиба

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА
№	Этапы	Краткая запись
	Определить область определения функции	D(f)
	Найти первую и вторую производную	f’(x); f ”(x)
	Найти критические точки функции y = f(x), т.е. точки, в которых вторая производная f ”(x) обращается в нуль или не существует	f ”(x) = 0 Þ х1, х2, х3 – критические точки
	Нанести критические точки на область определения функции (ось ОХ)
	Определить знак второй производной f ”(x) в промежутках (для этого взять любое число внутри рассматриваемого промежутка и подставить во вторую производную f”(x))	если f “(x) > 0 Þ f(x) - È f “(x) < 0 Þ f(x) - Ç на рассматриваемом промежутке
	Определить абсциссы точек перегиба	если через х0 - критическую точку f ”(x) меняет знак, то х0 – абсцисса точки перегиба Þ х1, х3 – абсциссы точек перегиба
	Вычислить значения функции (ординаты) в точках перегиба (для этого подставить х в первоначальную функцию)	f(x1); f(x3)
	Записать ответ	Ответ: (x1; f(x1)); (х3; f(x3))

Дата добавления: 2015-05-10