Чисельне інтегрування

Якщо для визначеної і неперервної на проміжку [а;b] функції f(x) відома первісна F(х), то визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца:

.

Проте в багатьох випадках обчислити визначений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(x) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення визначених інтегралів користуються чисельними методами. Чисельне інтегрування – це обчислення значення визначеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних.

Оскільки знаходження числового значення визначеного інтеграла (якщо f (x)>0) з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), обмеженої віссю Ox, прямими x = a, x = b, і лінією y = f (x), то формули для наближеного обчислення визначеного інтеграла називаються квадратурними.

Для побудови квадратурних формул можна використати інтерполяційний многочлен, а саме: підінтегральну функцію y = f (x) на відрізку інтегрування замінити інтерполяційним многочленом P_n (x) і вважати, що інтеграл від інтерполяційного многочлена наближено дорівнює інтегралу від заданої функції

(1)

Якщо для інтерполяційного многочлена відомий залишковий член R_n (x)= f (x)- P_n (x), то можна дістати вираз для залишкового члена квадратурної формули , тобто залишковий член квадратурної формули дорівнює інтегралу від залишкового члена інтерполяційного многочлена.

Виберемо на відрізку інтегрування [ а; b ] точки x ₀, x ₁,…, x_n (x_i = x_j, якщо i = j). Побудуємо інтерполяційний многочлен, значення якого в заданих точках дорівнюють значенням підінтегральної функції f(x), інтерполяційний многочлен запишемо у формі Лагранжа:

,

де .

Підставивши в (1) вираз для многочлена Лагранжа, дістанемо таку квадратурну формулу:

(2)

Де

(3)

Квадратурні формули (2), коефіцієнти яких, виражаються формулами (3), називаються інтерполяційними.

Дата добавления: 2015-05-10