Определители. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Для характеристики квадратных матриц вводится числовой критерий-определитель.

Определителем второго порядка квадратной матрицы второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством

(2.3.)

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

. (2.4.)

Определители матриц обозначаются символами .

Для вычисления определителей третьего порядка по формуле (2.4.) применяют схему Сарруса:

Соответствующие произведения элементов берутся со знаком <<+>> (левая схема), либо со знаком <<->> (правая схема).

Пример 2.4. Вычислить определитель .

Решение. Применяя формулу (2.4.) по схеме Сарруса, получим

.

Определение определителя квадратной матрицы -го порядка сложное (см. стр.19 [6]).

Минором элемента матрицы называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Например, минором элемента матрицы будет

Алгебраическим дополнением элемента матрицы (определителя) -го порядка называется его минор, взятый со знаком :

. (2.5.)

Например:

, , .

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6.)

(разложение по элементам -ой строки ).

Разложение определителя по элементам -го столбца имеет вид:

(2.7.)

Для упрощения вычислений определителей применяются свойства:

1. Определитель не изменяется при транспонировании матриц, т.е. . строки и столбцы равноправны.

2. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число; общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

3. Определитель меняет знак, если поменять местами две строки (столбца);

4. Определитель равен нулю, если все элементы любой строки (столбца) равны нулю;

5. Определитель равен нулю, если элементы любых двух строк (столбцов) пропорциональны (равны);

6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженное на число .

Пример 2.5. Вычислить определитель

.

Решение. Из первого столбца вынесем общий множитель 4:

.

К первой строке прибавим третью строку, умноженную на (-2), ко второй строке прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по Теореме Лапласа по первому столбцу.

.

Из третьей строки вынесем общий множитель 5 и из второго столбца 3. Имеем

.

Третью строку, умноженную на (-2) прибавим ко второй строке и разлагаем по элементам третьего столбца:

.

Решение системы -линейных уравнений с неизвестными

(2.8)

определитель которой , находится по формулам Крамера

, , , (2.9)

где -определитель, полученный из. определителя системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.

Пример 2.6. Решить систему по формулам Крамера:

Решение. Определитель матрицы

Вычисляем определители , и , заменяя в определителе первый, второй и третий столбцы столбцом из свободных членов.

.

.

По формулам (2.9) получим , , .

№ 2.10. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков по определению:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

№ 2.11. Вычислить определители наиболее рациональным способом:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

№ 2.12 Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов определителя из упражнений 2.11(б), 2.11(е).

№ 2.13. Составить определитель третьего порядка, равный нулю.

№ 2.14 Найти из уравнений :

а) , б)

и проверить подстановкой корней в определитель.

№ 2.15. Вычислить определитель четвертого порядка в начале по формуле разложения по элементам первой строки, потом по свойствам:

а) ; б) .

№ 2.16. Вычислить определители:

а) ; б) .

№ 2.17.-2.27 Решить системы уравнений по формулам Крамера:

№ 2.17. № 2.18.

№ 2.19. №2.20.

№ 2.21. №2.22.

№ 2.23. №2.24.

№2.25. № 2.26.

№2.27. №.2.28

Дата добавления: 2015-05-26