Решение системы линейных уравнений с переменными матричным методом

РАНГ МАТРИЦЫ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

1. Дана прямоугольная матрица

.

Выделим в этой матрице произвольных строк и произвольных столбцов . Определитель -го порядка, составленный из элементов матрица , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы , отличные от нуля. Рангом матрицы называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличный от нуля.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которой равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы обозначают . Если , то матрица и эквивалентны, пишут . Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований:

1) при замене строк столбцами, или столбцов - строками;

2) от перестановок строк;

3) от вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю;

4) от умножения какой-либо строки на число, отличное от нуля;

5) от прибавления к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.

Для вычисления ранга матрицы удобно пользоваться методом окаймляющих миноров.

Пример 3.1 Найти ранг матрицы

.

Решение. Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля:

.

Минор третьего порядка:

,

окаймляющий минор , также отличен от нуля. Оба минора 4-го порядка, окаймляющий минор , равны нулю.

и .

Поэтому , а базисным минором является, например, .

Пример 3.2. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Произведя последовательно элементарные преобразования, имеем:

.

Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, такой же ранг исходной матрицы.

1. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если .

Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу. Обратная матрица находится по формуле , где определитель матрицы , -присоединенная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы :

. (2.10)

3. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (2.11).

Введем следующие матрицы:

, , . (2.11)

Тогда система (2.6) в матричной форме запишется

Если матрица

невырожденная, т.е. , то матрица-решение

,

где -обратная матрица.

№ 2.29. Записать системы из №№2.17, 2.21, 2.25 матричным способом.

№ 2.30. От матричного способа записи систем перейти к нормальной системе линейных уравнений:

а) ; б) ;

в) .

№ 2.31. Найти ранг матрицы

; .

№ 2.32. Можно ли решить системы из номеров 2.23 и 2.24матричным способом.

№ 2.33. Решить матричным способом системы из №№ 2.17, 2.20, 2.21, 2.26.

№2.34. Если возможно, решить следующие системы матричным способом:

а) б)

Дата добавления: 2015-05-26