Модель леонтьева многоотраслевой экономики

Литература: [6], гл.2, § 2.7.; [8], гл. 3, § 3.1-3.3.

Эффективное ведение народного хозяйства страны предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов других отраслей.

Развитая математическая модель межотраслевого баланса появилась в трудах американского экономиста В.Леонтьева в 1936 году, русского по происхождению.

Пусть имеется различных отраслей , каждая из которых производит свой продукт за промежуток (плановый год).

Уравнения

() (2.19)

называются соотношениями баланса, где - объем валового выпуска продукта -ой отрасли, - объем продукции -ой отрасли, потребляемой -ой отраслью в процессе производства , - объем продукции отрасли , предназначенные к потреблению в непроизводственной сфере.

Величина остаются постоянными в течение ряда лет, зависят от используемой технологии.

Тогда

(2.20)

Коэффициенты называют коэффициентами прямых затрат.

Система (2.19) принимает вид:

или в матричной записи

(2.21)

где

(2.22)

- вектор валового выпуска, - вектор конечного продукта, - матрица прямых затрат.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании вектор , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта .

Задача решается по формуле

(2.23)

Матрица называется матрицей полных затрат, элемент показывает величину - ой строки, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта -ой отрасли .

Величины , поэтому матрицы .

Матрица называется продуктивной, если для любого существует решение уравнения (2.23).

Матрица продуктивна, если и и существует столбец такой, что .

Чистой продукцией -ой отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.

Пример. В таблице приведены данные об использовании баланса за период в условных ден. ед.:

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
Производства

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт 1-ой отрасли должен увеличиться на 20%, а 2-ой отрасли на 25%. Найти .

Решение. Из таблицы имеем:

По формуле получим коэффициенты прямых затрат

Матрица прямых затрат имеет положительные элементы и продуктивна.

Найдем матрицу полных затрат :

, , .

По условию вектор конечного продукта

По формуле (2.23):

.

Чистая продукция 1-ой и 2-ой отраслей соответственно 273 и 279 усл. ден. ед.

№ 2.51. Продуктивна ли матрица :

а) ; б) ;

в) ; г) .

№ 2.52. Дана матрица прямых затрат . Найти: а) вектор валовой продукции для обеспечения конечной продукции ;

б) приращение вектора для увеличения выпуска конечно продукции на .

№2.53. Работа системы, состоящей из трех отраслей, за некоторый промежуток приведена в таблице. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции отрасли увеличить на 50%,- на 60%, - на 20%.

Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
Производства

Дата добавления: 2015-05-26