Преобразования координат

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые аналитически определяются уравнениями второго порядка относительно переменных координат . К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.

2. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным :

3. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

Параметры и называются полуосями эллипса. Пусть , тогда фокусы и находятся на оси на расстоянии от центра. Отношение называется эксцентриситетом. Фокальные радиус-векторы: , .

4. Каноническое уравнение гиперболы

(5.7)

Гипербола, заданная уравнение (5.7), симметрична относительно осей координат, пересекает ось в точках и - вершинах и не пересекает . Параметр называется вещественной полуосью, - мнимой полуосью. Параметр - это расстояние фокуса от центра, - эксцентриситет гиперболы. Прямые называются асимптотами, фокальные радиус-векторы , . Гипербола, у которой называется равносторонней, ее уравнение .

5. Каноническое уравнение параболы:

1) - парабола, симметричная относительно оси ;

2) - парабола, симметричная относительно оси .

Парабола имеет фокус и директрису ;

фокальный радиус-вектор точки на ней .

6. Координаты в данной системе преобразуются в координаты в новой системе:

1) При параллельном сдвиге осей и перенесении начала координат в точку :

, .

2) При повороте осей на угол :

, .

Уравнение выделением в правой части полного квадрата приводится к уравнению , которое перенесением начала координат в точку приводится к виду и, следовательно, определяет параболу с вершиной и осью симметрии, параллельной оси .

№ 5.45. Составить уравнение линии, расстояние от которой до точки равно расстоянию до прямой . Сделать чертеж.

№5.46. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и прямой равно . Сделать чертеж.

№5.47. Построить эллипс . Найти его фокусы и эксцентриситет.

№ 5.48. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

1) расстояние между фокусами равно , а малая полуось ;

2) большая полуось , а эксцентриситет .

№ 5.49. Построить гиперболу и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

№ 5.50. Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось . Написать ее уравнение и найти расстояние от точки до фокусов.

№ 5.51. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки , и симметричной относительно оси ; 2) проходящей через точки , и симметричной относительно оси .

№ 5.52. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси . Построить окружность, прямую и параболу.

№ 5.53. Перенесением начала координат упростить уравнения:

1)

2)

3)

4)

№ 5.54. Поворотом осей координат на упростить уравнения:

1) 2)

№ 5.55. Определить траекторию точки , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке , чем к прямой .

№ 5.56. Найти точку пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы, проходящей через начало координат.

№ 5.57. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

№ 5.58. Дано уравнение . Требуется:

1) показать, что оно является уравнением сферы;

2) найти координаты центра и радиуса сферы;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и ось ;

4) составить уравнение прямой, проходящей через центр сферы и начало координат.

№ 5.59. Найти координаты центра гиперболы и расстояние между вершинами:

а) ,

б) .

№ 5.60. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и перпендикулярной прямой .

№ 5.61. Найти уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .

Дата добавления: 2015-05-26