Рациональные дроби

Определение. Рациональной алгебраической дробью называется отношение двух многочленов с действительными коэффициентами.

. (1.19)

Рациональная дробь (1.19) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя . Если же , то дробь считают неправильной.

Дробь (1.19) называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем.

Для неправильных дробей справедлива

Теорема 1. Всякая рациональная дробь представлена (), притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби:

где . (1.20)

Пример 1.12 .

Среди правильных дробей выделяют элементарные (простейшие), к которым относятся дроби, знаменатели которых являются степенью неприводимых (неразлагаемых) на множестве действительных чисел линейных и квадратичных многочленов. Таких дробей четыре вида:

I- ; II- ; III - ; IV - . (1.21)

Теорема 2. Всякая правильная рациональная дробь (1.19) разлагается в сумму простейших дробей единственным образом.

Если знаменатель дроби разлагается в произведение линейных и квадратичных множителей

,

то разложение (1.19) примет вид:

, (1.22)

где сумма .

Пример 1.13 Разложить в сумму элементарных дробей правильную дробь .

Разлагая знаменатель на множители, получим .

По формуле (1.22) искомое разложение примет вид:

, где и.

-неопределенные коэффициенты.

Приравнивая числители, получим равенство двух многочленов .

Так как знаменатель имеет действительный корень , то из последнего равенства получим , откуда . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных уравнений:

Решая систему, получим: .

Итак, правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей и принимает вид:

.

№1.20. Неправильные рациональные дроби представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

1) ; 2) 3) ;

4) 5) 6) .

№1.21. Правильные рациональные дроби разложить в сумму элементарных дробей:

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

Дата добавления: 2015-05-26