КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Кольцо линейных преобразований
Введем операции сложения и умножения линейных преобразований пространства . 1. Возьмем два линейных преобразования и пространства и назовем их суммой такое преобразование , которое характеризуется равенством . Иными словами, – преобразование, при котором образом произвольного вектора х является сумма образов и , получающихся при преобразованиях и . Покажем, что преобразование – линейно. Возьмем еще один произвольный вектор у и число : 1. ; 2. то есть удовлетворяются свойства линейности. Обозначим, далее, через А и В матрицы этих линейных преобразований в базисе и исследуем матрицу С – сумму . Согласно определению матрицы линейного преобразования: (1) (2) . (3) С другой стороны, пользуясь определением суммы линейных преобразований,получаем: . Отсюда, пользуясь равенствами (1) и (2), находим, что , или, окончательно: Сравнивая последнее равенство с равенством (3), видим, что С = А + В. 2. Назовем произведением линейных преобразований и «риф пространства такое преобразование пространства ,которое характеризуется равенством , т. е. преобразование, которое получается в результате последовательного применения к произвольному вектору х преобразований и . Покажем, что преобразование также является линейным. В самом деле, пользуясь определением произведения линейных преобразований и линейностью и , получаем: ; . Посмотрим, что можно сказать о матрице D произведения в базисе . Имеем, с одной стороны, что (4) С другой стороны, согласно определению произведения линейных преобразований: . Сравнивая это равенство с равенством (4), получаем , откуда . Итак, мы можем теперь сказать, что во множестве Q всех линейных преобразований пространства определены операции сложения и умножения, причем введенное в ранее взаимно однозначное соответствие между множеством Q и множеством М всех квадратных матриц n -го порядка является изоморфным: если А и В – матрицы произвольных линейных преобразований и в некотором базисе пространства , то сумма + задается в том же базисе суммой А + В, а произведение задается в том же базисе произведением АВ.
Так как множество М относительно операций сложения и умножения матриц образует кольцо, то в силу изоморфизма отсюда следует, что множество Q всех линейных преобразований пространства также образует кольцо относительно операций сложения и умножения линейных преобразований. Рассмотрим еще одну операцию — умножение линейного преобразования пространства на число . Эту операцию мы определяем с помощью равенства , где x – произвольный вектор. Нетрудно убедиться, что преобразование линейно: . Найдем матрицу G линейного преобразования в том базисе , в котором была задана матрица А преобразования . Имеем: (5) (6) Но в силу определения произведения : . Заменяем его выражением из равенства (5); . Обращаясь к равенству (6), видим, что , т. е. матрица произведения равна произведению матрицы линейного преобразования на число . Нулем кольца Q является нулевое преобразование ; оно, очевидно, задается в произвольном базисе нулевой квадратной матрицей n -го порядка. Тождественное преобразование является единицей кольца Q и, очевидно, задается в произвольном базисе единичной матрицей n -го порядка. Но кроме единицы в кольце Q, для целого ряда линейных преобразований существуют так называемые обратные преобразования.
Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 1322; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |