Задачи Стефана

Задачи Стефана – задачи динамики, фазового перехода I рода.

Решения этой задачи дает ответ на вопрос о том, за какое время (определенное), какой объем исходного вещества в процессе фазового перехода превращаться в новую фазу. Таким образом в ходе решения этой задачи определяется интенсивность фазового перехода, быстрота или скорость превращения одной фазы в другую.

Рассмотрим на примере нарастания слоя льда на поверхности водоема в холодный период года.

Основные факторы льдообразования на поверхности водоема является:

· снижение температуры воздуха ниже 0 ⁰С;

· процессы теплообмена между водой и атмосферным воздухом

т.е. замерзание водоема начинается, когда температура на поверхности вода-воздух, опускается ниже 0 ⁰С, за счет того что теплоотдача от водной поверхности в воздух становиться больше притока тепла к этой поверхности из глубинных слоев воды.

При образовании льда выделяется тепло величина которого определяется скрытой теплотой плавления льда(L=334 кДж/кг). Если это количество тепла сообщает другому 1кг воды, то вода при этом нагреется до ∆Т, зная что с=4200 ДЖ/кг К.

Найдем ∆Т, зная что с=4200 ДЖ/кг К:

В природных условиях такого нагрева не наблюдается. Тепло выделяется при образовании льда, передается через слой льда воздуху, за счет теплопроводности, и рассеивается за счет конвекции.

q_в << q_л

q_л, q_в –тепловой поток

Т_ф – температура замерзания воды,

l(t) – граница между льдом и водой.

Составим уравнение теплового баланса или тепловой энергии.

S Т_л

∆l

Т_ф

Допустим за время ∆t на плоской поверхности образовалась масса льда m

∆l толщина слоя льда массой m.

При этом выделилось количество тепла:

Это количество тепла выделившегося через слой льда передается воздуху по закону Фурье:

Можно приравнять (1) и (2):

Дифференциальное уравнение Стефана:
- скорость изменения со временем толщины слоя льда l от t.

Таким образом, уравнение (3) позволяет найти зависимость l(t)

Т_л≈Т_в температура льда равна температуре воздуха.

Более точным является использование условия теплообмена по закону Ньютона на поверхности льда, на границе раздела льда и воздуха.

Граничное условие III рода, это означает по закону Ньютона:

Т_л- температура на границе льда и воздуха.

Т_м – известная температура, определяется на гидрометеостанциях на высоте 2м.

Неизвестная температура Т_л находится из (4) с подстановкой в (3):

l(t=0)=l₀

l(t=0)=l₀

C= квадратное уравнение относительно l

Коэффициент теплообмена на границе лед→воздух , приблизительно можно считать →∞ (граничное условие III рода).

- формула Стефана.

Дата добавления: 2015-05-26