Доведення

Площини αі β перетинаються по прямій c. У площині αчерез точку перетину b і с проведемо пряму а с. Через прямі а і b проведемо площину γ.

γ с, оскільки с а і с b; пряма а b, тому α β. Теорему доведено.

Властивість: якщо пряма, що лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини.

Дано: α β, α β = с, а α, а с. Довести: α β.

Білет № 10

1. Границя функції в точці. Основні властивості границь.

2. Циліндр. Осьовий переріз циліндра. Переріз циліндра площинами

3. Знайти: .

4. Кінці відрізка А(5; -2; 1 і В(5; 3; 6). Знайти точку, симетричну середині відрізка відносно площини xz.

1. Границя функції в точці. Основні властивості границь.

Число b називається границею функції у = f(x) в точці а, якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х: 0 < | х – а | < δ, виконується нерівність | f(x) – b | < ε. (Рис. 15).

Основні властивості границь:

1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.

2. Границя постійної функції дорівнює постійній = С, де С — постійна.

3. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують.

(f(x) ± g(x)) = f(х) ± g(x).

4. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

5. Постійний множник можна виносити за знак границі

(C f(x)) = С f(x).

6. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

, .

Приклад,

2. Циліндр. Осьовий переріз циліндра. Переріз циліндра площинами

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обер­танням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 263 зображено циліндр, утворений обертанням плос­кого прямокутника ОАВО ₁ навколо прямої ОО ₁— осі циліндра.

Сторони ОА і O ₁ B описують рівні круги, які лежать у па­ралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра.

Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверх­нею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні й дорів­нюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, циліндра, кінці якого належать основам. Висота цилін­дра дорівнює його твірній.

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. На рис. 264 прямокутник ABCD — осьовий переріз циліндра.

Білет № 11

1. Функція у = sin x, її графік і властивості.

2. Призма. Правильна призма. Площа бічної поверхні прямої призми.

3. Розв’язати нерівність: 3 – 5 > 5 + 3

4. У нижній частині циліндра проведено хорду, довжина якої дорівнює b. Цю хорду видно із центра нижньої основи під кутом , а відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою проведеної хорди утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм

1. Функція у = sin x, її графік і властивості

Тригонометричними називають функції, задані формулами:

y = sinх, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Крива, яка є графіком функції у = sin x, називається синусої­дою.

Властивості функції y = sin х:
1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).
2. Область значень – проміжок [-1;1].
3. Функція непарна, періодична з періодом Т=2π.
4. Функція зростає при -π/2+2πn < х < π/2+2πn, n є Z.
5. Функція спадає при π/2 + 2πn < х < 3π/2+2πn, n є Z.
6. Функція має максимум у точках (π/2+2πn;0), мінімум у точках (-π/2+2πn;0), nє Z.

2. Призма. Правильна призма. Площа бічної поверхні прямої призми.

Многогранник, дві грані якого — рівні n -кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші п граней — паралелограми, нази­вається n-кутною призмою

Рівні n -кутники призми називаються основами, а паралело­грами — бічними гранями, сторони основи — ребрами основи, інші ребра — бічними ребрами.

З означення призми випливає, що основи призми рівні, а також лежать у паралельних площинах. Бічні ребра паралельні й рівні.

Поверхня призми складається з основ і бічної поверхні.

Площею поверхні призми називається сума площ усіх її граней. Оскільки основи рівні, то S_np = S_6ічн + 2S_осн,

де S_np — площа поверхні при­зми;

S_6ічн — площа бічної поверхні призми;

S_осн — площа основи.

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендику­лярні до основи.

Пряма призма називається правильною, якщо в її основі ле­жить правильний многокутник.

Слід зазначити, що бічними гранями прямої призми є прямо­кутники.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює до­бутку периметра її основи на довжину ребра.

S_бічн = Р ∙ h, де P = a ₁ + a ₂ +...+ a_n.

Білет № 12

1. Функція у = cos x, її графік і властивості.

2. Прямокутний паралелепіпед. Центральна симетрія паралелепіпеда.

3. Для заданої функції f (x) = знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А (4; -3).

4. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з основою а і кутом α при вершині. Усі двогранні кути при ребрах основи дорівнюють β. Знайдіть об’єм піраміди.

1. Функція у = cos x, її графік і властивості

Тригонометричними називають функції, задані формулами:

y = sinх, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Крива, яка є графіком функції y = cos x, називається косинусої­дою.

Властивості функції y = cos х:
1. Обл. визначення - проміжок (-∞;+∞).
2. Область значень – проміжок [-1;1].
3. Функція парна, періодична з періодом Т=2π.
4. Функція зростає при -π+2πn < х < 2πn, nє Z.
5. Функція спадає при 2πn < х < π+2πn, nє Z.
6. Функція має максимум у точках (2πn;0), мінімум у точках (π+2πn;0), nєZ.

2. Прямокутний паралелепіпед. Центральна симетрія паралелепіпеда.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називаєть­ся прямокутним паралелепіпедом

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники.

Усі діаго­налі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називають його розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри.

Прямокутний паралелепіпед, у якого лінійні виміри рівні, нази­вається кубом.

Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.

Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром си­метрії.
У прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній.
Теорема. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Білет № 13

1. Функція у = tg x, її графік і властивості.

2. Аксіоми стереометрії. Існування площини, що проходить через дану пряму і дану точку.

3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х² – 6х + 9, у = 5 – х.

4. Прямокутний трикутник з катетом а і протилежним кутом обертається навколо прямої, що містить його гіпотенузу. Знайдіть об’єм тіла обертання.

1. Функція у = tg x, її графік і властивості.

Тригонометричними називають функції, задані формулами:

y = sinх, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Крива, яка є графіком функції y = cos x, називається тангенсої­дою.

Властивості функції y = tgх:
1. Обл. визначення – всі дійсні числа, крім точок (π/2+2πn), n є Z.
2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).
3. Функція непарна, періодична з періодом Т = π.
4. Нулі функції – точки (πn;0), n є Z.
5. Функція зростає на всій області визначення.
6. Функція не має екстремумів.

2. Аксіоми стереометрії. Існування площини, що проходить через дану пряму і дану точку.

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тільки одну.
II. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює . Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жи­ни, й тільки один.
VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за , і тільки один.
VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині.
IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.
До цих аксіом додаються три аксіоми ­групи С.

. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну.

Теорема. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, й до того ж тільки одну.

Нехай АВ – данапряма і С – точка, яка їй не належить (рис. 11).

Доведення (існування площини)

Твердження	Аргумент
Візьмемо точку D, яка лежить на прямій АВ	І
Через точки D і С проведемо пряму DC	І
Через прямі АВ і DC проведемо площину α	С3

Доведення (єдиність площини) Доведемо від супротивного. Припустимо, що існує дві площини α і β, які проходять через пряму АВ і, точку С. За аксіомою С₂ площини α і β перетинаються по прямій, якій належать А, В, С, що суперечить умові. Отже, площина, яка проходить через пряму і точку, що не належить прямій, єдина.

Білет № 14

1. Залежність між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу.

2. Циліндр. Формули об’єму циліндра та площі повної поверхні циліндра.

3. Розв’яжіть рівняння: (х² – 4х + 3) = 0.

4. З точки А до площини проведено похилі АВ і АС, які утворюють з площиною кути по 60⁰. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо ВАС = 90⁰, а відстань від точки А до площини дорівнює 3 см.

1. Залежність між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу.

у

х

y

x

М(х; у)

N

α

О

Встановимо залежність між тригонометричними функціями одного і того ж самого кута, користуючись означеннями тригонометричних функцій. Розглянемо одиничне коло (рис. 1) і на ньому точку М(x,y).

Згадаємо: y= sin a; x=cos a.

За теоремою Піфагора: y²+x²=1² або

sin^2a + cos^2a=1^2.

(1)

За означенням:

;

(2)

(3)

tg a × ctg a=1;

(4)

Скористаємося рівністю (1). Почленно поділимо на sin²a. Одержимо:

1+ctg^2a= .

(7)

Почленно поділимо на cos²a. Одержимо:

1+tg^2a= .

(8)

2. Циліндр. Формули об’єму циліндра та площі повної поверхні циліндра

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обер­танням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 263 зображено циліндр, утворений обертанням плос­кого прямокутника ОАВО ₁ навколо прямої ОО ₁— осі циліндра.

Сторони ОА і O ₁ B описують рівні круги, які лежать у па­ралельних площинах і називаються основами циліндра.

Радіуси кругів називаються радіусами циліндра.

Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверх­нею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні й дорів­нюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, циліндра, кінці якого належать основам. Висота цилін­дра дорівнює його твірній.

Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту

V = S _осн ∙ H; V = πR ² H

Білет № 15

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу

2. Декартові координати у просторі. Відстань між точками у просторі.

3. Розв’яжіть рівняння: log (4x) + log₂ = 8

4. Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і утворює з площиною основи кут α, а з площиною бічної грані – кут β. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу

Примітка: Інколи при перетворенні тригонометричних виразів користуються формулами: універсальна підстановка

2. Декартові координати у просторі. Відстань між точками у просторі

Нехай х, у, z — три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перети­наються в точці О (рис. 248). Ці координатні прямі називаються координатними осями: вісь х, вісь у, вісь z або вісь абсцис, вісь ординат, вісь аплікат відповідно, точку О називають почат­ком координат.

Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі — додатну, позначе­ну стрілкою, і від'ємну.

Площини, які проходять через х і у, х і z, у і z, називають координат­ними площинами і позначають відповідно: ху, хz, уz.

Твердження. Квадрат, відстані між двома точками дорівнює сумі квад­ратів різниць їх відповідних координат.

Дата добавления: 2015-05-26