Доведення. Нехай дано дві точки А(xA, уA, zA) і В(хB, yB, zB) (рис

Нехай дано дві точки А(x _A, у _A, z _A) і В(х _B, y _B, z_B) (рис. 254). Доведе­мо, що

АВ² = (х _B – x _A)² + (y _B – у _A)² + (z_B – z _A)².

Розглянемо випадок, коли АВ не паралельна осі z. Через точки А і В проведемо прямі, паралельні осі z. Вони перетнуть площину ху в точках A₁ і В₁ відповідно. Ці точки мають ті самі координати х, у, що й точки А і В, а координата z їх однакова і дорівнює нулю. Проведемо через точку А площину, паралель­ну координатній площині ху. Побудована площина перетне пряму ВВ₁ у деякій точці С, причому ВС = | z_B – z _A|. За теоремою Піфагора із ΔАВС маємо:

АВ² = AC² + ВС². Оскільки АС² = A₁В₁² = (х _B – x _A)² + (y _B – у _A)²,

ВС = | z_B – z _A |, то АВ² = (х _B – x _A)² + (y _B – у _A)² + (z_B – z _A)².

Таким чином, відстань між точками А(x _A, у _A, z _A) і В(х _B, y _B, z_B) обчислюється за формулою .

Білет № 16

1. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівнянь виду: sin x = a, cos x = a.

2. Правильна піраміда, Площа бічної поверхні правильної піраміди.

3. Знайти проміжки, на яких функція f(x) = x³ – x² – 5x – 3 зростає, спадає

4. Основа піраміди – квадрат зі стороною 12 см, а дві суміжні бічні грані перпендикулярні до площини основи. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди, якщо її висота дорівнює 5 см.

1. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівнянь виду: sin x = a, cos x = a.

Рівняння називаються тригонометричними, якщо змінна величина знаходиться під знаком тригонометричної функції. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

sin x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=a.

2. Правильна піраміда, Площа бічної поверхні правильної піраміди.

Правильною пірамідою називається піраміда, в основі якої ле­жить правильний многокутник, а основа висоти піраміди збігається з центром цього многокутника.

Нехай S АВСD — правильна чотирикутна піра­міда (рис. 92). Тоді за означенням її основа АВСD — правильний чотирикутник (квадрат); центр квад­рата точка О — основа висоти S0 піраміди.

Пряма, яка містить висоту піраміди, на­зивається віссю правильної піраміди. Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з вершини піраміди, назива­ється апофемою. На рис. 92 S К — апофема.

У правильної піраміди:

1) бічні ребра рівні;

2) бічні грані рівні;

3) апофеми рівні;

4) двогранні кути при основі рівні;

5) двогранні кути при бічних ребрах рівні;

6) кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від всіх ве­ршин основи;

7) кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней.

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Доведення

Нехай а — сторона основи правильної п -кутної піраміди (рис. 255). SH BC, SH = m.

Тоді площа бічної грані правильної піраміди дорівнює am, а площа бічної поверхні S_бічн = атп. Оскільки ап = р, де р — півпериметр основи піраміди, то S _бічн = pm.

Білет № 17

1. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівнянь виду: tg x = a, ctg x = a.

2. Конус. Формули об’єму конуса та площі повної поверхні конуса.

3. Дослідіть функцію f (x) = x⁴ –4x² та побудуйте її графік.

4. Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює α, проведено переріз, який утворює з площиною основи конуса кут β. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його висота рівна Н.

1. Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівнянь виду: tg x = a, ctg x = a.

Рівняння називаються тригонометричними, якщо змінна величина знаходиться під знаком тригонометричної функції.

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

sin x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=a.

2. Конус. Формули об’єму конуса та площі повної поверхні конуса.

Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів.

Якщо прямокутний трикутник SАО обертається навколо катета SO, то його гіпотенуза описує бічну поверхню, а катет ОА — круг — основу конуса. Радіус цього круга називається радіусом конуса; то­чка S, відрізок SА, відрізок SO, пряма SO називаються відповідно вершиною, твірною, висотою і віссю конуса.

Площа поверхні та об'єм конуса

Бічну поверхню конуса можна розгорнути на площину, розрізавши її по твірній (рис. 273).

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор, радіус якого дорівнює твірній конуса, а довжина дуги сектора — довжи­ні кола основи конуса (рис. 274).

Площею бічної поверхні конуса будемо вважати площу її розгортки.

Таким чином, площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку половини довжини кола основи на твірну: S_бічн = πRl.

Площею повної поверхні конуса називається сума площ бічної поверхні та основи. Для обчислення площі повної поверхні конуса S_кон одержуємо:

S_кон = S_бічн + S_осн, S _кон = πRl + πR ² = π R (l + R).

Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі його основи на висоту:

V = π R ² H.

Білет № 18

1. Корінь п –го степеня і його властивості.

2. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини.

3. Знайдіть похідну функції f (x) = log₄ (x² – 4x) та обчисліть її значення в точці х₀ = 5.

4. Паралельно осі циліндра проведено переріз, який відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 120⁰. Площа перерізу дорівнює 16 см², а його діагональ утворює з площиною основи кут 60⁰. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

1. Корінь п –го степеня і його властивості.

Коренем п-го степеня із дійсного числа а називається число, n -й степінь якого дорівнює а.

Згідно даного означення, корінь п -го степеня — це корінь рівняння хⁿ = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а.

Якщо п — парне, тобто п = 2k, k N, то рівняння х ^2k = а має два корені, якщо а > 0; один корінь, якщо а = 0; не має коренів, якщо а < 0.

Якщо п — непарне, тобто п = 2k + 1, k N, то рівняння х^2k+1 = а завжди має лише один корінь.

Арифметичним коренем n-го степеня із невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число, n -й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь п -го степеня із числа а позначають так: . Число n називають показником кореня, число а — підкоре­невим числом (виразом).

Якщо п = 2, то замість пишуть і називають арифме­тичним квадратним коренем.

Арифметичний корінь третього степеня називають кубічним коренем.

Властивості: · = .

.

.

.

.

2. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини

Взаємне розміщення прямої і площини
паралельні a || α	перетинаються	пряма лежить у площині

Теорема (ознака паралельності прямої і площини)

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Дано: а || b; b α (рис. 51).

Довести: а || a.

Дата добавления: 2015-05-26