Доведення. Припустимо, що пряма а не належить площині a

Припустимо, що пряма а не належить площині a. Тоді а і a мають спільну точку А.

Якщо А Î b, то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Якщо А Î b, то а і b мимобіжні, що суперечить умові.

Отже, а || a.

Білет № 19

1. Степенева функція з цілим показником, її графік і властивості.

2. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності двох площин.

3. Знайдіть екстремуми функції у = (2х – 1) е^{3 х}.

4. В основі конуса проведено хорду завдовжки а, яку видно із центра основи під кутом α, а з вершини конуса – під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

1. Степенева функція з цілим показником, її графік і властивості

Степеневою функцією називається функція виду у = х^p,

де р — постійне дійсне число, а х (основа) — змінна.

p	Графік	D(y)	E(y)	Пар­ність (непарність)	Зрос­тання (спа­дання)
p=2k, k N		R	[0; +∞)	парна	спадає, якщо х (-∞; 0], зростає, якщо х [0; +∞)
p= 2 k+ 1 k N		R	R	непар­на	зростає
p= -(2k), k N		x ≠ 0	(0; + ∞)	парна	зростає, якщо х (-∞;0); спадає, якщо х (0; +∞)
p=-(2k-1) k N		x ≠ 0	y ≠ 0	непар­на	Спадає на проміж­ках (-∞; 0), (0; +∞)
p > 0, p – не ціле, 0<р<1		[0;+∞)	[0;+∞)	ні парна, ні непар­на	зростає
Р>0, p – не ціле, р > 1		[0;+∞)	[0;+∞)	ні парна, ні непар­на	зростає
р < 0, р – не ціле		(0;+∞)	(0;+∞)	ні парна, ні непар­на	спадає

2. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності двох площин.

Теорема ( ознака паралельності площин)

Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Дано: a ₁ Ì a; а ₂ Ì a; a ₁ і a ₂ перетинаються в точці А;

b ₁ Ì b; b ₂ Ì b; a ₁ || b ₁; а ₂ || b ₂ (рис. 59).

Довести: a || b.

Доведення

Припустимо, що a і b перетинаються по с. Оскільки a ₁ || b ₁, то а ₁ || b, отже, а ₁ || с. Оскільки а ₂ || b ₂ то а ₂ || b, отже, а ₂ || с. Через точку А проходять дві прямі а ₁ і а ₂, які паралельні с, що суперечить аксіомі па­ралельності. Отже, a || b.

Білет № 20

1. Показникова функція, її графік і властивості.

2. Вектори у просторі. Дії над векторами. Множення вектора на число, його властивості.

3. Доведіть тотожність = .

4. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Діагональ грані, що містить бічну сторону трикутника дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об’єм призми.

1. Показникова функція, її графік і властивості.

Функція виду у = а^х, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).

а > 1	0 < а < 1
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + ) 3. Зростає x 1 > x 2 > 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0,то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1	1. D(y) = R 2. E(y) = (0; + ). 3. Спадає x 1 > x 2 < 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1

2. Вектори у просторі. Дії над векторами. Множення вектора на число, його властивості.

Вектором називають напрямлений відрізок.

Довжиною (модулем, абсолютною величиною) вектора нази­вається довжина напрямленого відрізка (позначення: , ). Вектор, у якого початок збігається з кінцем, називається нульовим вектором. Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони ле­жать або на одній прямій, або на паралельних прямих. Ненульові вектори і називаються однаково напрямлени­ми, якщо вони колінеарні та напрямлені в один бік. Вектори і називаються рівними, якщо вони мають одна­кову довжину та однаково напрямлені. Вектори і називаються протилежними, якщо вони ма­ють однакову довжину та протилежно напрямлені.

Три вектори називають компланарними, якщо відповідні їм на­прямлені відрізки розміщені в паралельних площинах. Вектори , і компланарні тільки за умови, що точки О, А, В, С лежать в одній площині

Вектори в просторі
	Координати вектора (рис. а) (хВ – хА; уВ – уА; zВ – zА)
Довжина вектора (аx; аy; аz):
Рівність векторів (аx; аy; аz) = (bx; by; bz)
Сума векторів (рис. б) (аx; аy; аz) + (bx; by; bz) = (аx + bx; аy + by; аz + bz). + + =
Різниця векторів (аx; аy; аz) – (bx; by; bz) = (аx – bx; аy – by; аz – bz). (рис. в) – =
Добуток вектора на числоλ· (аx; аy; аz) = (λ аx; λ аy; λ аz)
Колінеарні вектори і колінеарні, якщо = λ·

Білет № 21

1. Логарифм числа. Логарифм частки.

2. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин.

3. Розв’яжіть рівняння: 7^х – 2^х+2 = 5 7^х-1 – 2^{х –1} .

4. Через сторону квадрата проведено площину, яка утворює з площиною квадрата кут 45⁰. Знайдіть кут між діагоналлю квадрата і цією площиною.

Дата добавления: 2015-05-26