Оценка достоверности выборочных показателей

Чтобы по данным какой-либо вы­борки можно было судить о всей гене­ральной совокупности, следует учиты­вать величины, которые в статистике называют ошибками парамет­ров [3; 4].

Характеристика генеральной сово­купности на основе выборочного иссле­дования всегда будет неточной, т. е. бу­дет иметь большую или меньшую ошиб­ку. Такие ошибки являются ошибками обобщения, связанными с перенесением результатов, полученных при изучении выборки, на всю генеральную совокуп­ность. Они определяют меру точности данного параметра.

Средняя арифметическая величина выборки характеризует среднюю ариф­метическую генеральной совокупности лишь приближенно и может отличаться от нее на некоторую величину. Если взять ряд выборок из одной и той же совокупности, то средние арифметичес­кие величины этих выборок не будут совпадать друг с другом. Одни средние арифметические величины будут не­сколько больше, другие — несколько меньше. Значения средних отдельных выборок будут обладать вариацией, которая может быть измерена средним квадратичным отклонением. Оно полу­чило название ошибки средней для выборочной средней величины m (М), которая позволяет определить достовер­ность выборочных показателей и в ка­ких пределах лежат параметры гене­ральной совокупности*.

Ошибку средней арифметической величины вычисляют по формуле

ак видно из формулы, ошибка средней арифметической величины за­висит от численности выборки (числа наблюдений и) и от большей или мень­шей изменчивости признака в выборке, т. е. от среднего квадратичного откло­нения. Чем меньше изменчивость при­знака и больше численность выборки, тем точнее будут выборочные данные, меньше будет ошибка средней арифме­тической величины и расхождение меж­ду значениями признаков в выборочной и генеральной совокупности.

Если распределение признака соот­ветствует кривой нормального распре­деления, то вероятность появления дан­ной средней арифметической величины для выборки из генеральной совокупно­сти может быть выражена нормирован­ным отклонением /, с помощью которо­го выше была дана характеристика нор­мального распределения. В этом случае нормированное отклонение определяет­ся по формуле

где x` - М — разность между средней ариф­метической величиной выборки х и средней арифметической величиной генеральной со­вокупности М, m (х) — ошибка средней арифметической величины выборки, равная s = п.)

С помощью нормированного от­клонения в данном случае можно уста­новить возможные границы, в пределах которых находится средняя арифмети­ческая величина генеральной совокуп­ности.

Таким образом, зная основные па­раметры выборки, можно определить в каких пределах лежат параметры генеральной совокупности. Средняя ариф­метическая величина генеральной сово­купности для данной выборки будет находиться в пределах М ± т (x`) с опре­деленной вероятностью. По таблице площадей кривой нормального распре­деления (см. приложение 4) можно оп­ределить, что истинное значение сред­ней арифметической величины для гене­ральной совокупности будет находить­ся при t = 1 с вероятностью 68% в преде­лах x` ± т (x`), при t = 1,96 с вероятнос­тью 95% — в пределах х` ± 2т (х`), при t = 2,98 с вероятностью 99,7% — преде­лах х` ± 3 т (x`).

Например, если для выборки из 1000 человек средняя арифметическая величина по длине х` = 168,2 см, среднее квадратичное отклонение s = 6 см, то ошибка средней арифметической величины

Значит, можно утверждать с вероятно­стью 68%, что средняя арифметическая ве­личина генеральной совокупности будет на­ходиться в пределах (168.2 ± 0,19) см, с ве­роятностью 95% — в пределах (168,2 ± 0,38) см, и с вероятностью 99,7% — в пределах (168,2 ± 0,57) см.

Исходя из этого, можно записать обратные соотношения, т. е. что для 95% выборок, взятых изданной генеральной совокупности, средние арифметические величины (выборочные средние) будут находиться в пределах плюс-минус двух ошибок от средней арифметической ве­личины генеральной совокупности и 99,7% всех выборочных средних ариф­метических величин — в пределах трех ошибок. Отсюда можно сделать вывод, что если средняя арифметическая величина выборки отличается от средней арифметической величины генеральной совокупности более чем на три ошибки, то можно утверждать с вероятностью 99,7%, что эта выборка взята не из дан­ной генеральной совокупности [3; 4].

В практике построения размерной типологии во многих случаях надо знать степень расхождения средних арифмети­ческих величин в исследуемых выбор­ках.

Для установления достоверности различий между средними арифметичес­кими величинами двух выборок следу­ет воспользоваться нормированным от­клонением, которое в этом случае вы­разится следующей формулой:

Различия между средними арифме­тическими величинами двух выборок считаются достоверными в том случае, если они превышают первый порог ве­роятности — 0,95 и, тем более, второй — 0,99 (см. приложение11).

Пример. При следующих параметрах двух выборок по обхвату груди — x`<sub>1</sub> = 97.35 см, s<sub>1</sub> = 10,00 см, n<sub>1</sub> = 100; х`₂ = 93,60 см; s₂ = 9.00 см, п₂ = 200 — определить, принадле­жат ли эти выборки одной генеральной со­вокупности.

Чтобы ответить на вопрос, надо уста­новить, достоверны ли различия между эти­ми двумя выборками (если различие досто­верно, то эти выборки следует считать при­надлежащими к разным генеральным сово­купностям). Разница между средними ариф­метическими величинами двух выборок в этом случае d = х₁ - х₂ или d = 97,35 - 93,60 = 3,75 см. Средняя ошибка разности этих ве­личин

отсюда t = 3,75 • 0,87 = 3,26.

По таблице площадей (см. приложение 4) находим, что вероятность достоверности различия этих двух выборок по обхвату гру­ди больше 0,999, т. е. больше третьего поро­га вероятности; следовательно, различия достоверны.

Проверим на данном примере, досто­верно ли различие между средними арифме­тическими величинами обхвата груди (если численность каждой из выборок будет 600 человек при тех же статистических парамет­рах, т. е. d = 3.75 см). Средняя ошибка раз­ности средних арифметических величин

отсюда /t= 3,75 ■ 1,82 = 6,83.

Полученная цифра с еще большей точ­ностью подтверждает достоверность разли­чия между средними арифметическими ве­личинами обхвата груди в двух данных вы­борках. Значит, эти две выборки принадле­жат к разным совокупностям.

Дата добавления: 2015-06-04