Уравнения равновесия плоской системы сил

Статика

Вторая форма условий равновесия (теорема о трех моментах)

Теорема о трех моментах – алгебраическая сумма моментов сил относительно трех произвольных точек A,B,C, не лежащих на одной прямой, равна нулю, т.е.

ΣM_A(F_k) = 0, ΣM_B(F_k) = 0, ΣM_C(F_k) = 0; (1.5)

Необходимость этих условий очевидна, т.к. если плоская система сил находится в равновесии, то выполняется первая форма условий равновесия (1.4).

А тогда из последнего равенства (1.4) следует, что сумма моментов всех сил относительно любой точки, следовательно, и точек А, В, С равняется нулю, т.е. выполняются условия (1.5).

Достаточность условий (1.5) следует из того, что если выполняются условия (1.5), а данная система сил не находится в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В, С.

Это невозможно, т.к. точки А, В, С не лежат на одной прямой. Следовательно, если выполняются условия (1.5), то имеет место равновесие.

Для равновесия произвольной плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух прямоугольных осей, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, расположенной в плоскости действия сил, также была равна нулю:

(3.4)

Равенства (3.4) представляют так называемую основную форму условий равновесия при действии на тело плоской системы сил. Условия равновесия тела под действием плоской системы сил могут быть представлены еще в двух других формах.

Вторая форма условий равновесия:

(3.5)

т. е. должны быть равны нулю суммы моментов сил относительно любых двух точек А, В, расположенных в плоскости действия сил, и сумма проекций всех этих сил на ось х (при этом ось х не должна быть перпендикулярна прямой АВ).

Третья форма условий равновесия:

(3.6)

т. е. должны быть равны нулю суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех точек А, В, С (эти точки расположены в плоскости действия сил и не лежат на одной прямой).

Если на объект действует плоская система параллельных сил, условия равновесия выражаются двумя формами уравнений равновесия:

(3.7)

или

(3.8)

В формулах (3.7) ось у следует выбирать параллельно силам, центр А выбирается произвольно. В формулах (3.8) отрезок АВ не должен быть параллелен силам.

Направления осей координат х и у следует выбирать так, чтобы они были перпендикулярны неизвестным силам.

За центр моментов следует выбирать точку пересечения двух неизвестных сил или точку на линии действия неизвестной силы.

Рациональный выбор формы уравнений равновесия, направления осей координат и центров моментов позволяет составлять такие уравнения равновесия, каждое из которых содержит по одной неизвестной. Решение такой системы уравнений сопровождается минимумом вычислений.

Дата добавления: 2015-06-04