Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Вычисление объема тела

Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(), . Предположим, что r() и r () непрерывны на отрезке [ ].

Если в равенствах x = r cos , y = r sin , связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически

Тогда

Поэтому

= =

Применяя формулу L = , получаем

L =

Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos ).

Рис 4

Решение: Кардиоида r = a(1 + cos ) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину

(рис 4) длины кардиоиды:

½ L = = a = a = 2a cos d = 4a sin = 4a.

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b

Применим схему II (метод дифференциала).

Рис 5

1. Через произвольную точку x [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

2. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Дата добавления: 2015-06-26