Объем тела вращения

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример: Найти объем эллипсоида (рис 6)

Рис 6

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (- a≤ x≤ b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc (1 - ). Поэтому, по формуле имеем

V = bc (1 - ) dx = a bc.

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ b и прямыми х = а и х = b (рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,

S(x)= y .

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

V = y dx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <

d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = S(x) dx, равен

V = x dy.

Пример: Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V = x dy.

находим:

V = 2ydy = y = 8 .

Дата добавления: 2015-06-26